Aufgabe 4.1Z: Andere Basisfunktionen
Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die Aufgabe 4.1:
Für $M = 4$ energiebegrenzte Signale $s_i(t)$ mit $i = 1, \ \text{...} \ , 4$ sollen die $N$ erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen $\varphi_{\it j}(t)$ gefunden werden, die folgende Bedingung erfüllen müssen:
- $$< \hspace{-0.1cm} \varphi_j(t), \hspace{0.1cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\, {\rm d} t = {\rm \delta}_{jk} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} j = k \\ j \ne k \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
Mit $M$ Sendesignale $s_i(t)$ können bereits weniger Basisfunktionen $\varphi_{\it j}(t)$ ausreichen, nämlich $N$. Allgemein gilt also $N ≤ M$.
Es handelt sich hier um die genau gleichen energiebegrenzten Signale $s_i(t)$ wie in der Aufgabe 4.1:
- Der Unterschied ist die unterschiedliche Reihenfolge der Signale $s_i(t)$.
- Diese sind in dieser Aufgabe so sortiert, dass die Basisfunktionen auch ohne Anwendung des umständlicheren Gram–Schmidt–Verfahrens gefunden werden können.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Signale, Basisfunktionen und Vektorräume.
- Verwenden Sie für numerische Berechnungen: $A = 1 \sqrt{\rm W} , \hspace{0.2cm} T = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}. $
Fragebogen
Musterlösung
- Damit ist offensichtlich, dass auch hier $\underline {N = 3}$ gelten muss.
(2) Die 2–Norm gibt die Wurzel aus der Signalenergie an und ist vergleichbar mit dem Effektivwert bei leistungsbegrenzten Signalen.
- Die ersten drei Signale haben alle die 2–Norm
- $$||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = \sqrt{A^2 \cdot T}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Norm des letzten Signals ist um den Faktor $\sqrt{2}$ größer:
- $$||s_4(t)|| \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die erste und die letzte Aussage sind zutreffend im Gegensatz zu den Aussagen 2 und 3:
- Es wäre völlig unlogisch, wenn die gefundenen Basisfunktionen bei anderer Sortierung der Signale $s_i(t)$ nicht mehr gelten sollten.
- Das Gram–Schmidt–Verfahren liefert nur einen möglichen Basisfunktionssatz $\{\varphi_{\it j}(t)\}$. Bei anderer Sortierung ergibt sich (möglicherweise) ein anderer.
- Die Anzahl der Permutationen von $M = 4$ Signalen ist $4! = 24$. Mehr Basisfunktionssätze kann es auf keinen Fall geben ⇒ der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
- Wahrscheinlich gibt es (wegen $N = 3$) aber nur $3! = 6$ mögliche Basisfunktionssätze. Wie aus der Musterlösung zur Aufgabe 4.1 ersichtlich ist, werden sich mit der Reihenfolge $s_1(t), s_2(t), s_4(t), s_3(t)$ die gleichen Basisfunktionen ergeben wie mit $s_1(t), s_2(t), s_3(t), s_4(t)$. Dies ist aber nur eine Vermutung der Autoren; wir haben es nicht überprüft.
- Die Aussage 3 kann allein schon wegen den unterschiedlichen Einheiten von $s_i(t)$ und $\varphi_{\it j}(t)$ nicht stimmen. Die Signale weisen wie $A$ die Einheit $\sqrt{\rm W}$ auf, die Basisfunktionen die Einheit $\sqrt{\rm 1/s}$.
- Richtig ist somit die letzte Lösungsalternative, wobei für $K$ gilt:
- $$K = ||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Aus dem Vergleich der Diagramme auf der Angabenseite erkennt man:
- $$s_{4}(t) = s_{1}(t) - s_{2}(t) = K \cdot \varphi_1(t) - K \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm}.$$
- Weiterhin gilt:
- $$s_{4}(t) = s_{41}\cdot \varphi_1(t) + s_{42}\cdot \varphi_2(t) + s_{43}\cdot \varphi_3(t)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{41} = K \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{42} = -K \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= -10^{-3}\sqrt{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0}\hspace{0.05cm}. $$
