Aufgabe 3.6Z: Komplexe Exponentialfunktion

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Darstellung im Spektralbereich:
komplexe Exponentialfunktion und geeignete Aufspaltung

In Zusammenhang mit den  Bandpass-Systemen  wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion  ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal  ${x(t)}$  zur Folge hat.

In der unteren Skizze ist  ${X(f)}$  in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil  ${G(f)}$  sowie einen ungeraden Anteil  ${U(f)}$  aufgespaltet.





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lautet die zu  $G(f)$  passende Zeitfunktion  $g(t)$? Wie groß ist  $g(t = 1 \, µ \text {s})$?

$\text{Re}\big[g(t = 1 \, µ \text {s})\big] \ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}\big[g(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $

 $\text{V}$

2

Wie lautet die zu  $U(f)$  passende Zeitfunktion  $u(t)$? Wie groß ist  $u(t = 1 \, µ \text {s})$?

$\text{Re}\big[u(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $

 $\text{V}$
$\text{Im}\big[u(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $

 $\text{V}$

3

Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals  $x(t)$  zutreffend?

Das Signal lautet  $x(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$.
In der komplexen Ebene dreht  $x(t)$  im Uhrzeigersinn.
In der komplexen Ebene dreht  $x(t)$  entgegen dem Uhrzeigersinn.
Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.


Musterlösung

(1)  $G(f)$  ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer  $T_0 = 1/f_0 = 8 \, µ\text {s}$:

$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Bei  $t = 1 \, µ\text {s}$  ist der Signalwert gleich  $A \cdot \cos(\pi /4)$:

  • Der Realteil ist  $\text{Re}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
  • der Imaginärteil ist  $\text{Im}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.}$


(2)  Ausgehend von der Fourierkorrespondenz

$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ A$$

erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):

$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} } \right).$$
$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
  • Der Realteil dieses Signals ist stets Null.
  • Bei  $t = 1 \, µ\text {s}$  gilt für den Imaginärteil:  $\text{Im}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.


(3)  Wegen  $X(f) = G(f) + U(f)$  gilt auch:

$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Dieses Ergebnis kann mit dem  Satz von Euler  wie folgt zusammengefasst werden:

$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} .$$

Richtig sind die vorgegebenen Alternativen 1 und 3:

  • Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
  • Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer  $T_0 = 1/f_0 = 8 \, µ\text {s}$.