Aufgaben:Aufgabe 3.5: Schaltung mit R, L und C: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten einen Vierpol mit dem Widerstand $R = 100 \ \rm \Omega$ im Längszweig, während im Querzweig eine Induktivität $L$ und eine Kapazität $C$ in Serie geschaltet sind. Darunter gezeichnet ist das Pol–Nullstellen–Diagramm. | + | Wir betrachten einen Vierpol mit dem Widerstand $R = 100 \ \rm \Omega$ im Längszweig, während im Querzweig eine Induktivität $L$ und eine Kapazität $C$ in Serie geschaltet sind. Darunter gezeichnet ist das Pol–Nullstellen–Diagramm. |
− | Beachten Sie die Normierung der komplexen Frequenz $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ auf den Wert $1/T$ mit $T = 1 \ \rm µ s$. Dies hat zur Folge, dass zum Beispiel der Pol bei $-1$ in Realität bei $-10^6 \cdot \ \rm 1/s$ liegt. | + | Beachten Sie die Normierung der komplexen Frequenz $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ auf den Wert $1/T$ mit $T = 1 \ \rm µ s$. Dies hat zur Folge, dass zum Beispiel der Pol bei $-1$ in Realität bei $-10^6 \cdot \ \rm 1/s$ liegt. |
Zur Berechnung von Zeitfunktionen kann man den Residuensatz anwenden: | Zur Berechnung von Zeitfunktionen kann man den Residuensatz anwenden: | ||
− | *Bei $N$ einfachen Polen setzt sich der Ausgang $y(t)$ aus $N$ Eigenschwingungen ( | + | *Bei $N$ einfachen Polen setzt sich der Ausgang $y(t)$ aus $N$ Eigenschwingungen ("Residuen") zusammen. |
− | *Bei einem einfachen Pol bei $p_{{\rm x}i}$ gilt für das das Residuum: | + | *Bei einem einfachen Pol bei $p_{{\rm x}i}$ gilt für das das Residuum: |
:$${\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} | :$${\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} | ||
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− | Dieser Ansatz funktioniert aber nur dann, wenn die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner ist als $N$, in dieser Aufgabe beispielsweise dann, wenn die Sprungantwort $\sigma(t)$ berechnet wird. In diesem Fall ist $Z = 2$ und $N = 3$, da zusätzlich die Sprungfunktion am Eingang durch $X_{\rm L}(p) = 1/p$ berücksichtigt werden muss. | + | :Dieser Ansatz funktioniert aber nur dann, wenn die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner ist als $N$, in dieser Aufgabe beispielsweise dann, wenn die Sprungantwort $\sigma(t)$ berechnet wird. In diesem Fall ist $Z = 2$ und $N = 3$, da zusätzlich die Sprungfunktion am Eingang durch $X_{\rm L}(p) = 1/p$ berücksichtigt werden muss. |
− | Für die Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ funktioniert diese Vorgehensweise wegen $Z = N =2$ nicht. Hier kann | + | *Für die Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ funktioniert diese Vorgehensweise wegen $Z = N =2$ nicht. |
+ | *Hier kann man die Tatsache berücksichtigen, dass das Integral über die Impulsantwort $h(t)$ die Sprungantwort $\sigma(t)$ ergibt. | ||
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- einen Tiefpass, | - einen Tiefpass, | ||
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$L \hspace{0.24cm} = \ $ { 20 3% } $\ \rm µ H$ | $L \hspace{0.24cm} = \ $ { 20 3% } $\ \rm µ H$ | ||
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− | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t) = \sigma(t)$, wenn am Eingang eine Sprungfunktion$x(t) = \gamma(t)$ anliegt. | + | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t) = \sigma(t)$, wenn am Eingang eine Sprungfunktion $x(t) = \gamma(t)$ anliegt. Geben Sie die folgenden Signalwerte ein: |
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$y(t = 0) \ = \ $ { 1 3% } | $y(t = 0) \ = \ $ { 1 3% } | ||
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− | {Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$, insbesondere für die Zeitpunkte $t = 0$ und $t = 1 \ \rm µ s$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? | + | {Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$, insbesondere für die Zeitpunkte $t = 0$ und $t = 1 \ \rm µ s$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? |
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− | + $h(t)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $t = 0$. | + | + $h(t)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $t = 0$. |
− | - Der kontinuierliche Anteil von $h(t)$ ist im gesamten Bereich negativ. | + | - Der kontinuierliche Anteil von $h(t)$ ist im gesamten Bereich negativ. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | *In beiden Fällen gilt $Y(f) = X(f)$ ⇒ $H(f) = 1$. | + | *In beiden Fällen gilt $Y(f) = X(f)$ ⇒ $H(f) = 1$. |
− | *Bei der Resonanzfrequenz $f_0$ wirkt dagegen die LC–Serienschaltung als Kurzschluss und es gilt $H(f = f_0) = 0$. | + | *Bei der Resonanzfrequenz $f_0$ wirkt dagegen die LC–Serienschaltung als Kurzschluss und es gilt $H(f = f_0) = 0$. |
*Daraus folgt allein aus dem Blockschaltbild: Es handelt sich um eine <u>Bandsperre</u>. | *Daraus folgt allein aus dem Blockschaltbild: Es handelt sich um eine <u>Bandsperre</u>. | ||
− | '''(2)''' Aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm ergibt sich die folgende $p$–Übertragungsfunktion (ohne den Normierungsfaktor $1/T$ | + | |
+ | '''(2)''' Aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm ergibt sich die folgende $p$–Übertragungsfunktion $($ohne den Normierungsfaktor $1/T)$: | ||
:$$H_{\rm L}(p)= \frac {(p - {\rm j} \cdot 2)(p + {\rm j} \cdot | :$$H_{\rm L}(p)= \frac {(p - {\rm j} \cdot 2)(p + {\rm j} \cdot | ||
2)} {(p +1)(p +4 )}= \frac {p^2 +4} {p^2 + 5 \cdot p +4} | 2)} {(p +1)(p +4 )}= \frac {p^2 +4} {p^2 + 5 \cdot p +4} | ||
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− | Unter Berücksichtigung der Spannungsteilereigenschaften erhält man mit dem Blindwiderstand $ | + | *Unter Berücksichtigung der Spannungsteilereigenschaften erhält man mit dem Blindwiderstand $p \cdot L$ der Induktivität und dem Blindwiderstand $1/(p \cdot C)$ der Kapazität für die Schaltung: |
:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p\cdot L +1/(pC) } | :$$H_{\rm L}(p)= \frac { p\cdot L +1/(pC) } | ||
{R + p \cdot L +1/(pC) }= \frac { p^2 +1/(pC) } | {R + p \cdot L +1/(pC) }= \frac { p^2 +1/(pC) } | ||
{p^2 + p \cdot {R}/{L} +1/(pC) }\hspace{0.05cm} .$$ | {p^2 + p \cdot {R}/{L} +1/(pC) }\hspace{0.05cm} .$$ | ||
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:$${R}/{L} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} 5 \cdot 10^{6 }\, {\rm 1/s} | :$${R}/{L} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} 5 \cdot 10^{6 }\, {\rm 1/s} | ||
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:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p^2 +4} {p \cdot (p +1)\cdot(p +4 )} | :$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p^2 +4} {p \cdot (p +1)\cdot(p +4 )} | ||
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\frac {p^2 +4} { (p +1)\cdot(p +4 )} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p | \frac {p^2 +4} { (p +1)\cdot(p +4 )} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p | ||
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\hspace{0.15cm}y(t = 0.5\,{\rm µ s}) \hspace{0.05cm}\underline{= 0.215}\hspace{0.05cm}, $$ | \hspace{0.15cm}y(t = 0.5\,{\rm µ s}) \hspace{0.05cm}\underline{= 0.215}\hspace{0.05cm}, $$ | ||
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− | Die Grafik zeigt den Signalverlauf. Die gesuchten Zahlenwerte sind nochmals eingetragen. | + | Die Grafik zeigt den Signalverlauf. Die gesuchten Zahlenwerte sind nochmals eingetragen. |
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Man erkennt aus dieser Darstellung: | Man erkennt aus dieser Darstellung: | ||
− | * Da extrem hohe Frequenzen durch das System (Bandsperre) nicht beeinflusst werden, ist auch im Ausgangssignal $y(t)$ der Sprung von $0$ auf $1$ mit unendlich großer Flankensteilheit zu erkennen. | + | * Da extrem hohe Frequenzen durch das System (Bandsperre) nicht beeinflusst werden, ist auch im Ausgangssignal $y(t)$ der Sprung von $0$ auf $1$ mit unendlich großer Flankensteilheit zu erkennen. |
− | * Wegen $H(f = 0) = 1$ ergibt der Grenzwert von $y(t)$ für $t → \infty$ folgerichtig ebenfalls den Wert $1$. | + | * Wegen $H(f = 0) = 1$ ergibt der Grenzwert von $y(t)$ für $t → \infty$ folgerichtig ebenfalls den Wert $1$. |
− | * Aufgrund der LC–Resonanzfrequenz bei $f_0 = 1/\pi$ (in $\rm MHz$ | + | * Aufgrund der LC–Resonanzfrequenz bei $f_0 = 1/\pi$ (in $\rm MHz)$ kommt es zu einem Einbruch im Signalverlauf. |
+ | *Das Signalminimum von $\approx 0.215$ liegt bei etwa $t = 0.5 \ \rm µ s$. | ||
[[Datei:P_ID1779__LZI_A_3_5_d.png|right|frame|Impulsantwort des RLC–Tiefpasses]] | [[Datei:P_ID1779__LZI_A_3_5_d.png|right|frame|Impulsantwort des RLC–Tiefpasses]] | ||
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− | *Die Impulsantwort $h(t)$ ergibt sich aus der Sprungantwort $\sigma(t)=y(t)$ durch Differentiation: | + | *Die Impulsantwort $h(t)$ ergibt sich aus der Sprungantwort $\sigma(t)=y(t)$ durch Differentiation: |
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*Der erste Lösungsvorschlag ist somit richtig, da die Differentiation einer Sprungfunktion die Diracfunktion liefert. | *Der erste Lösungsvorschlag ist somit richtig, da die Differentiation einer Sprungfunktion die Diracfunktion liefert. | ||
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:$$T \cdot h(t = 0 )\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {5}/{3}- {20}/{3}= -5 | :$$T \cdot h(t = 0 )\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {5}/{3}- {20}/{3}= -5 | ||
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Aktuelle Version vom 9. November 2021, 14:30 Uhr
Wir betrachten einen Vierpol mit dem Widerstand $R = 100 \ \rm \Omega$ im Längszweig, während im Querzweig eine Induktivität $L$ und eine Kapazität $C$ in Serie geschaltet sind. Darunter gezeichnet ist das Pol–Nullstellen–Diagramm.
Beachten Sie die Normierung der komplexen Frequenz $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ auf den Wert $1/T$ mit $T = 1 \ \rm µ s$. Dies hat zur Folge, dass zum Beispiel der Pol bei $-1$ in Realität bei $-10^6 \cdot \ \rm 1/s$ liegt.
Zur Berechnung von Zeitfunktionen kann man den Residuensatz anwenden:
- Bei $N$ einfachen Polen setzt sich der Ausgang $y(t)$ aus $N$ Eigenschwingungen ("Residuen") zusammen.
- Bei einem einfachen Pol bei $p_{{\rm x}i}$ gilt für das das Residuum:
- $${\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \hspace{0.05cm} .$$
- Dieser Ansatz funktioniert aber nur dann, wenn die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner ist als $N$, in dieser Aufgabe beispielsweise dann, wenn die Sprungantwort $\sigma(t)$ berechnet wird. In diesem Fall ist $Z = 2$ und $N = 3$, da zusätzlich die Sprungfunktion am Eingang durch $X_{\rm L}(p) = 1/p$ berücksichtigt werden muss.
- Für die Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ funktioniert diese Vorgehensweise wegen $Z = N =2$ nicht.
- Hier kann man die Tatsache berücksichtigen, dass das Integral über die Impulsantwort $h(t)$ die Sprungantwort $\sigma(t)$ ergibt.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Rücktransformation.
Fragebogen
Musterlösung
- Bei extrem tiefen Frequenzen $(f \rightarrow 0)$ hat die Kapazität $C$ einen unendlich großen Widerstand und bei sehr hohen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ die Induktivität $L$.
- In beiden Fällen gilt $Y(f) = X(f)$ ⇒ $H(f) = 1$.
- Bei der Resonanzfrequenz $f_0$ wirkt dagegen die LC–Serienschaltung als Kurzschluss und es gilt $H(f = f_0) = 0$.
- Daraus folgt allein aus dem Blockschaltbild: Es handelt sich um eine Bandsperre.
(2) Aus dem Pol–Nullstellen–Diagramm ergibt sich die folgende $p$–Übertragungsfunktion $($ohne den Normierungsfaktor $1/T)$:
- $$H_{\rm L}(p)= \frac {(p - {\rm j} \cdot 2)(p + {\rm j} \cdot 2)} {(p +1)(p +4 )}= \frac {p^2 +4} {p^2 + 5 \cdot p +4} \hspace{0.05cm} .$$
- Unter Berücksichtigung der Spannungsteilereigenschaften erhält man mit dem Blindwiderstand $p \cdot L$ der Induktivität und dem Blindwiderstand $1/(p \cdot C)$ der Kapazität für die Schaltung:
- $$H_{\rm L}(p)= \frac { p\cdot L +1/(pC) } {R + p \cdot L +1/(pC) }= \frac { p^2 +1/(pC) } {p^2 + p \cdot {R}/{L} +1/(pC) }\hspace{0.05cm} .$$
- Durch Vergleich erkennt man unter Berücksichtigung des Normierungsfaktors $1/T= 10^6 \cdot \rm 1/s$:
- $${R}/{L} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} 5 \cdot 10^{6 }\, {\rm 1/s} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}L= \frac{100\, {\rm \Omega}}{5 \cdot 10^6 \, {\rm 1/s}}\hspace{0.15cm}\underline{= 20\,{\rm µ H} \hspace{0.05cm}} ,$$
- $${1}/({LC}) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}4 \cdot 10^{12 }\, {\rm 1/s^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}C= \frac{1}{4 \cdot 10^{12 }\, {\rm 1/s^2}\cdot 2 \cdot 10^{-5 }\, {\rm \Omega \cdot s} } \hspace{0.15cm}\underline{= 12.5\,{\rm nF}} \hspace{0.05cm} .$$
(3) Die Sprungfunktion am Eingang wird durch $X_{\rm L}(p) = 1/p$ berücksichtigt. Damit ergibt sich
- $$Y_{\rm L}(p)= \frac {p^2 +4} {p \cdot (p +1)\cdot(p +4 )} \hspace{0.05cm} ,$$
woraus man durch Anwendung des Residuensatzes die Zeitfunktion $y(t)$ ermitteln kann:
- $$y_1(t) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac {p^2 +4} { (p +1)\cdot(p +4 )} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}0}= 1 \hspace{0.05cm} ,$$
- $$ y_2(t) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac {p^2 +4} { p\cdot(p +4 )} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= - {5}/{3}\cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}-t} \hspace{0.05cm} ,$$
- $$ y_3(t) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac {p^2 +4} { p\cdot(p +1 )} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-4}= {5}/{3}\cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}-4t}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t)= y_1(t)+y_2(t)+y_3(t)= 1- {5}/{3}\cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}-t/T}+\ {5}/{3}\cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}-4t/T} \hspace{0.05cm} .$$
Hierbei ist berücksichtigt, dass die bei dieser Rechnung nicht berücksichtigte Konstante $10^6 \cdot \rm 1/s$ durch die Zeitnormierung auf $T = 1 \ \rm µ s$ ausgeglichen wird.
Die gesuchten Signalwerte lauten:
- $$y(t = 0) \hspace{0.05cm}\underline{= 1.000}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}y(t = 0.5\,{\rm µ s}) \hspace{0.05cm}\underline{= 0.215}\hspace{0.05cm}, $$
- $$y(t = 2\,{\rm µ s}) \hspace{0.05cm}\underline{= 0.775}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm}y(t = 5\,{\rm µ s}) \hspace{0.05cm}\underline{= 0.989}\hspace{0.05cm}. $$
Die Grafik zeigt den Signalverlauf. Die gesuchten Zahlenwerte sind nochmals eingetragen.
Man erkennt aus dieser Darstellung:
- Da extrem hohe Frequenzen durch das System (Bandsperre) nicht beeinflusst werden, ist auch im Ausgangssignal $y(t)$ der Sprung von $0$ auf $1$ mit unendlich großer Flankensteilheit zu erkennen.
- Wegen $H(f = 0) = 1$ ergibt der Grenzwert von $y(t)$ für $t → \infty$ folgerichtig ebenfalls den Wert $1$.
- Aufgrund der LC–Resonanzfrequenz bei $f_0 = 1/\pi$ (in $\rm MHz)$ kommt es zu einem Einbruch im Signalverlauf.
- Das Signalminimum von $\approx 0.215$ liegt bei etwa $t = 0.5 \ \rm µ s$.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Die Impulsantwort $h(t)$ ergibt sich aus der Sprungantwort $\sigma(t)=y(t)$ durch Differentiation:
- $$h(t)= \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}y(t)}{{\rm d}t}= \delta (t) + \frac {5}{3T}\cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}-t/T}- \frac {20}{3T}\cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}-4t/T} \hspace{0.05cm} .$$
- Der erste Lösungsvorschlag ist somit richtig, da die Differentiation einer Sprungfunktion die Diracfunktion liefert.
- Für den kontinuierlichen Anteil von $h(t)$ erhält man folgende Zahlenwerte:
- $$T \cdot h(t = 0 )\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {5}/{3}- {20}/{3}= -5 \hspace{0.05cm} ,$$
- $$ T \cdot h(t = T )\hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} {5}/{3}\cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}-1}- {20}/{3}\cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}-4}= {5}/{3}\cdot 0.368- {20}/{3}\cdot 0.018\approx 0.491 \hspace{0.05cm} .$$
- Da $h(t)$ im Grenzfall für $t → \infty$ gegen Null strebt, ist der dritte Lösungsvorschlag ebenfalls richtig im Gegensatz zum zweiten.
- Der Verlauf von $h(t)$ ist in der nebenstehenden Grafik dargestellt.