Aufgabe 3.5: Differentiation eines Dreicksignals

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Dreiecksignal und
differenziertes Dreiecksignal

Gesucht wird das Spektrum  $Y(f)$  des Signals

$$y\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u}r}}} \\ \end{array}\;\begin{array}{*{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {{\rm{sonst}}{\rm{.}}} \\\end{array}$$

Dabei gelte  $A = 1\,{\rm V}$  und  $T = 0.5\,{\rm ms}$.

Als bekannt vorausgesetzt wird die Fouriertransformierte des oben skizzierten Dreieckimpulses  $x(t)$, nämlich

$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} ),$$

wobei  $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$  gilt.

Ein Vergleich der beiden Zeitsignale zeigt, dass zwischen den Funktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  folgender Zusammenhang besteht:

$$y(t) = T \cdot \frac{{{\rm d}x(t)}}{{{\rm d}t}}.$$





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
  • Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der  Verschiebungssatz  und der  Integrationssatz  – werden im Lernvideo  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation  an Beispielen verdeutlicht.
  • In der Teilaufgabe  (3)  soll das Spektrum  $Y(f)$  ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls  $r(t)$  mit Amplitude  $A$  und Dauer  $T$  sowie dessen Spektrum  $R(f) = A \cdot T \cdot \text{si}(\pi fT)$  berechnet werden. Dies erreicht man durch zweimalige Anwendung des  Verschiebungssatzes.
  • In  Aufgabe 3.5Z  wird das Spektrum  $Y(f)$  ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal durch Anwendung des Integrationssatzes berechnet.



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Spektralfunktion  $Y(f)$  am Ausgang. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen  $f = 0$  bzw.  $f = 1 \ \rm kHz$?

$|Y(f=0)| \hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{mV/Hz}$
$|Y(f=1 \ \text{kHz})| \ = \ $

 $\text{mV/Hz}$

2

Welche Aussagen sind hinsichtlich des Spektrums  $Y(f)$  zutreffend?

Die Nullstellen von  $X(f)$  bleiben auch in  $Y(f)$  erhalten.
Für  $f \rightarrow \infty$  hat  $Y(f)$  den gleichen Verlauf wie  $X(f)$.
Für  $f \rightarrow \infty$  ist  $Y(f)$  doppelt so groß als das Spektrum eines Rechteckimpulses der Dauer  $T$.

3

Berechnen Sie  $Y(f)$  ausgehend vom Rechteckimpuls durch Anwendung des Verschiebungssatzes. Welche Aussage ist hier zutreffend?

Der Differentiationssatz führt schneller zum Ergebnis.
Der Verschiebungssatz führt schneller zum Ergebnis.


Musterlösung

(1)  Der Differentiationssatz lautet allgemein:

$$\frac{{{\rm d}x( t )}}{{{\rm d}t}}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{\rm{j}} 2{\rm{\pi }}f \cdot X( f ).$$
  • Angewandt auf das vorliegende Beispiel erhält man:
$$Y( f ) = T \cdot {\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}f \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{( {{\rm{\pi }}fT} )^2 }} = {\rm{j}} \cdot 2 \cdot A\cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$
  • Diese Funktion ist rein imaginär. Bei der Frequenz  $f = 0$  verschwindet auch der Imaginärteil. Dies kann man zum Beispiel durch Anwendung der Regel von l'Hospital formal nachweisen   ⇒   $Y( f = 0 ) \;\underline{= 0}$.
  • Das Ergebnis folgt aber auch aus der Tatsache, dass der Spektralwert bei  $f = 0$  gleich dem Integral über die Zeitfunktion  $y(t)$  ist.
  • Bei der normierten Frequenz  $f \cdot T = 0.5$  $($also für  $f = 1\,\text{ kHz})$  ist die Sinusfunktion gleich  $1$  und man erhält  $|Y(f = 1 \,\text{kHz})| = 4/\pi \cdot A \cdot T$, also näherungsweise  $|Y(f=1 \ \text{kHz})| \ \underline{=0.636 \,\text{ mV/Hz}}$  (positiv imaginär).


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Die Nullstellen von  $X(f)$  bleiben erhalten und es gibt eine weitere Nullstelle bei der Frequenz  $f = 0$.
  • Als asymptotischen Verlauf bezeichnet man die obere Schranke
$$\left| {Y_{\max }( f )} \right| = \frac{2A}{{{\rm{\pi }} \cdot |f|}} \ge \left| {Y( f )} \right|.$$
  • Für die Frequenzen, bei denen die Sinusfunktion die Werte  $\pm 1$  liefert, sind  $|Y_{\text{max}}(f)|$  und  $|Y(f)|$  identisch.
  • Beim Rechteckimpuls der Amplitude  $A$  lautet die entsprechende Schranke  $A/(\pi \cdot |f|)$.
  • Dagegen fällt das Spektrum  $X(f)$  des Dreieckimpulses asymptotisch schneller ab:
$$\left| {X_{\max }( f )} \right| = \frac{A}{{{\rm{\pi }}^{\rm{2}} f^2 T}} \ge \left| {X( f )} \right|.$$
  • Dies ist darauf zurückzuführen, dass  $x(t)$  keine Unstetigkeitsstellen aufweist.


(3)  Ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls  $r(t)$  mit Amplitude  $A$  und Dauer  $T$  kann das Signal  $y(t)$  auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = r( {t + T/2} ) - r( {t - T/2} ).$$
  • Durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes erhält man:
$$Y( f ) = R( f ) \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}fT} - R( f ) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} .$$
  • Mit der Beziehung  $\text{e}^{\text{j}x} – \text{e}^{–\text{j}x} = 2\text{j} \cdot \text{sin}(x)$  kann hierfür auch geschrieben werden:
$$Y( f ) = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm{\pi }}fT} ) \cdot \sin ( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
  • Es ergibt sich folgerichtig das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe  (1).
  • Welcher Weg schneller zum Ergebnis führt, muss jeder selbst für sich entscheiden. Der Autor meint, dass der erste Weg etwas günstiger ist.
  • Subjektiv entscheiden wir uns für den Lösungsvorschlag 1.