Aufgabe 2.5: Einweggleichrichtung

Gleichgerichtete Cosinusfunktionen

Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des unten skizzierten Signals $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals $w(t)$ mit der Amplitude $\pi /2$ ergibt.

Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$. Diese wurde bereits in der Aufgabe 2.4 ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür:

$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cdot \cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\omega_1t)-\dots$$

Anzumerken ist:

Die Grundkreisfrequenz ist mit $\omega_1$ bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale $u(t)$ und $v(t)$ jeweils $T/2$ beträgt, gilt $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$.
Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden.
Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen:

$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15} \cdot \cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35} \cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$

Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies:

Der Gleichkoeffizient ergibt sich zu $A_0 = 1$,
Alle Sinuskoeffizienten sind $B_n = 0$,
Die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n = 1, \ 3, \ 5, \dots$ sind alle $0$,
Die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n = 2, \ 4, \ 6, \dots$ sind ungleich $0$ :

$$A_n=(-1)^{\hspace{0.01cm}n/2+1}\frac{2}{n^2-1}.$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:

$$A_1=A_3=A_5=\dots=0,$$

$$A_2=2/3; \;A_4=-2/15;\;A_6=2/35;\;A_8=-2/63.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fourierreihe.
Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos

Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten,

Eigenschaften der Fourierreihendarstellung.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Auch das verschobene Signal $v(t)$ ist gerade und alle Sinuskoeffizienten sind dementsprechend Null.

Am Gleichsignalkoeffizienten ändert sich ebenfalls nichts: $A_0 = 1$.

Aus den Signalverläufen ist zu erkennen, dass $v(t) = u(t - T/4)$ gilt:

$$v(t)=1+\frac{2}{3}\cdot \cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\frac{2}{15}\cdot \cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))+\frac{2}{35}\cdot \cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\dots$$

Die Cosinusterme können nun mit $\omega_0 \cdot T = 2 \pi$ umgeformt werden:

$$\cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(2\omega_0t-\pi)=-\cos(2\omega_0t),$$

$$\cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(4\omega_0t-2\pi)=\cos(4\omega_0t),$$

$$\cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(6\omega_0t-3\pi)=-\cos(6\omega_0t).$$

Damit erhält man für die Fourierreihe:

$$v(t)=1-{2}/{3}\cdot \cos(2\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(4\omega_0t)-{2}/{35}\cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$

bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$:

$$A_n=\frac{-2}{n^2-1}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}A_2=-\hspace{-0.05cm}2/3 \hspace{0.1cm}\underline{= -\hspace{-0.05cm}0.667}.$$

(2) Wegen $w(t) = \pi /2 \cdot \sin(\omega_0 t)$ sind alle Fourierkoeffizienten außer $B_1 = \pi /2 \hspace{0.1cm}\underline{=1.571}$ gleich Null.

(3) Aus der grafischen Darstellung erkennt man den Zusammenhang $x(t)={1}/{2} \cdot \big [v(t)+w(t) \big].$ Das bedeutet:

$$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\cdot \sin(\omega_0 t)-\frac{1}{3}\cdot \cos(2\omega_0 t)-\frac{1}{15}\cdot \cos(4\omega_0 t)-\frac{1}{35}\cdot \cos(6\omega_0 t)-\ldots$$

Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit:

$$A_0 \hspace{0.1cm}\underline{=0.5},\hspace{1cm} B_1 = \pi /4 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.785},\hspace{1cm} A_2\hspace{0.1cm}\underline{ = -0.333}.$$