Aufgabe 2.10: ESB-AM mit Kanalverzerrungen

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Sendespektrum des analytischen Signals und Kanalfrequenzgang

Wir betrachten die Übertragung des Quellensignals

$$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_4 t)$$

über einen Gauß–Bandpasskanal mit der Mittenfrequenz  $f_{\rm M} = 48 \ \rm kHz$. Diese unterscheidet sich von der bei der Modulation verwendeten Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$. Die Frequenzen  $f_2$  und  $f_4$  stehen als Abkürzungen für  $f = 2 \ \rm kHz$  bzw.  $f = 4 \ \rm kHz$.

Untersucht werden sollen folgende Modulationsverfahren mit dem jeweiligen Spektrum  $S_+(f)$ des analytischen Signals entsprechend der oberen Grafik:

  • ZSB–AM (alle vier Spektrallinien bei  $46 \ \rm kHz$, $48 \ \rm kHz$, $52 \ \rm kHz$ und $54 \ \rm kHz$),
  • OSB–AM (nur blaue Spektrallinien bei  $52 \ \rm kHz$ und $54 \ \rm kHz$),
  • USB–AM (nur grüne Spektrallinien bei  $46 \ \rm kHz$ und $48 \ \rm kHz$).


Verwendet wird jeweils ein Synchrondemodulator, der zunächst das empfängerseitige Trägersignal

$$ z_{\rm E} (t) = \left\{ \begin{array}{c} 2 \cdot z(t) \\ 4 \cdot z(t) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm ZSB} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm OSB, USB} \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

multiplikativ zusetzt und anschließend die Anteile um die doppelte Trägerfrequenz vollständig unterdrückt. Bei idealem Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  würde somit in allen Fällen  $v(t) = q(t)$  gelten.

Der hier betrachtete Gaußkanal ist durch folgende Stützwerte gegeben:

$$ H_{\rm K}(f = 46\,{\rm kHz}) = 0.968,\hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f = 48\,{\rm kHz}) = 1.000,$$
$$ H_{\rm K}(f = 52\,{\rm kHz}) = 0.882,\hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f = 54\,{\rm kHz}) = 0.754\hspace{0.05cm}.$$

Schreiben Sie das Sinkensignal jeweils in der Form

$$v(t) = A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - \tau_2)) + A_4 \cdot \cos(2 \pi f_4 \cdot (t - \tau_4))\hspace{0.05cm}.$$

Alle Berechnungen sind sowohl für eine perfekte Phasensynchronisation  $(Δϕ_{\rm T} = 0)$  als auch für einen Phasenversatz von  $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$  durchzuführen. Dieser liegt zum Beispiel dann vor, wenn das sendeseitige Trägersignal cosinusförmig verläuft und für das empfangsseitige Trägersignal gilt:

$$ z_{\rm E} (t) = A_{\rm E} \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t - 30^\circ) . $$



Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Amplituden bei ZSB–AM und perfekter Synchronisation  ($Δϕ_{\rm T} = 0$).

$A_2 \ = \ $

$\ \rm V$
$A_4 \ = \ $

$\ \rm V$

2

Wie lauten die Größen  $A_2$  und  $τ_2$  bei ZSB–AM und Phasenversatz  ($Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$)?

$A_2 \ = \ $

$\ \rm V$
$τ_2 \hspace{0.25cm} = \ $

$\ \rm μs$

3

Berechnen Sie die Amplituden  $A_2$  und  $A_4$  bei OSB–AM und perfekter Synchronisation  ($Δϕ_{\rm T} = 0$).

$A_2 \ = \ $

$\ \rm V$
$A_4 \ = \ $

$\ \rm V$

4

Geben Sie die Signalsamplituden für USB–AM und perfekter Synchronisation  ($Δϕ_{\rm T} = 0$) an.

$A_2 \ = \ $

$\ \rm V$
$A_4 \ = \ $

$\ \rm V$

5

Wie lauten dagegen die Signalparameter bei USB–AM und Phasenversatz  ($Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$)?

$A_2 \ = \ $

$\ \rm V$
$τ_2 \hspace{0.25cm} = \ $

$\ \rm μs$
$A_4 \ = \ $

$\ \rm V$
$τ_4 \hspace{0.25cm} = \ $

$\ \rm μs$

6

Welche dieser Aussagen sind nach Ihren Ergebnissen zutreffend? Hierbei sollen unter „Kanalverzerrungen” stets Dämpfungsverzerrungen verstanden werden.

Kanalverzerrung führt bei ZSB-AM zu Dämpfungsverzerrungen.
Kanalverzerrung führt bei ESB–AM zu Phasenverzerrungen.
Ein Phasenversatz führt bei ZSB–AM zu Dämpfungsverzerrungen.
Ein Phasenversatz führt bei ESB–AM zu Phasenverzerrungen.


Musterlösung

(1)  Bei der ZSB–AM sind folgende Dämpfungsfaktoren zu berücksichtigen:

$$\alpha_2 = {1}/{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 48\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = 52\,{\rm kHz})\right] = 0.981,$$
$$\alpha_4 = {1}{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 46\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = 54\,{\rm kHz})\right] = 0.861\hspace{0.05cm}.$$

Damit ergeben sich die Amplituden $A_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.882 \ \rm V}$ und $A_4\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.722 \ \rm V}$


(2)  Bei ZSB führt ein Phasenversatz zwischen den Trägerfrequenzen von Sender und Empfänger nur zu einer für alle Frequenzen gleichen Dämpfung:

$$A_2 = \cos (30^\circ) \cdot 1.882\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.630\,{\rm V}},$$
$$A_4 = \cos (30^\circ) \cdot 1.722\,{\rm V} = 1.491\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Die Laufzeiten sind $τ_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0}$ und $τ_4 = 0$.


(3)  Bei OSB–AM wird der Dämpfungsfaktor $α_2$ allein von $H_{\rm K}(f = 52\ \rm kHz)$ bestimmt. Da der prinzipielle Amplitudenverlust der OSB um den Faktor $2$ durch eine größere Trägeramplitude ausgeglichen wird, gilt:

$$A_2 = 0.882 \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.764\,{\rm V}},$$
$$A_4 = 0.754 \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.508\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Analog zur Lösung der Teilaufgabe (3) erhält man hier:

$$ A_2 = H_{\rm K}(f = 48\,{\rm kHz}) \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}},$$
$$A_4 = H_{\rm K}(f = 46\,{\rm kHz}) \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.936\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Bei der USB–AM lautet das Empfangssignal:

$$r(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos( \omega_{\rm 48} \cdot t) + 0.968\,{\rm V} \cdot \cos( \omega_{\rm 46} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Durch Multiplikation mit dem empfangsseitigen Trägersignal $z_{\rm E}(t) = 4 \cdot \cos( \omega_{\rm 50} \cdot t - \Delta \phi_{\rm T})$ erhält man nach Anwendung des trigonometrischen Additionstheorems:

$$v(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t) = \hspace{0.15cm}\underline { 2.000\,{\rm V}} \cdot \cos( \omega_{\rm 2} \cdot t - \Delta \phi_{\rm T})+\hspace{0.15cm}\underline { 1.936\,{\rm V}} \cdot \cos( \omega_{\rm 4} \cdot t - \Delta \phi_{\rm T}) + {\rm Anteile \hspace{0.15cm}um \hspace{0.15cm}} 2f_{\rm T}\hspace{0.05cm}$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} A_2 \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}},\hspace{0.5cm} A_4 \hspace{0.15cm}\underline {= 1.936\,{\rm V}}.$$

Unter Berücksichtigung des nachfolgenden Tiefpassfilters kann hierfür auch geschrieben werden:

$$ v(t) = A_2 \cdot \cos( \omega_{\rm 2} \cdot (t - \tau_2))+ A_4 \cdot \cos( \omega_{\rm 4} \cdot (t - \tau_4))\hspace{0.05cm}.$$

Die Amplituden sind gegenüber Teilaufgabe d) unverändert. Für die Laufzeiten erhält man mit $Δϕ_T = π/6$:

$$ \tau_2 = \frac {\Delta \phi_{\rm T}}{2 \pi \cdot f_2} = \frac {\pi /6}{2 \pi \cdot 2\,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 41.6\,{\rm \mu s}},\hspace{0.5cm} \tau_4 = \frac {\Delta \phi_{\rm T}}{2 \pi \cdot f_4}= \frac {\tau_2}{2}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 20.8\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$


(6)  Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag:

  • Auch bei ESB führen Dämpfungsverzerrungen auf dem Kanal ausschließlich zu Dämpfungsverzerrungen bezüglich $v(t)$.
  • Phasenverzerrungen gibt es nur bei einem Demodulator mit Phasenversatz, wenn eine Einseitenbandmodulation Anwendung findet.
  • Bei der ZSB–AM hätte ein solcher Phasenversatz keine Verzerrungen zur Folge, sondern lediglich eine frequenzunabhängige Dämpfung.
  • Zu Phasenverzerrungen bezüglich $v(t)$ kommt es bei der ZSB–AM und der ESB–AM auch, wenn solche bereits auf dem Kanal auftreten.