Aufgaben:Aufgabe 1.6: Wurzel-Nyquist-System: Unterschied zwischen den Versionen
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:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\ | :$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\ | ||
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\begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\ | \begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\ | ||
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| − | In der gesamten Aufgabe gelte $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$ und $f_{2} = 1 \ \rm MHz$. | + | In der gesamten Aufgabe gelte $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$ und $f_{2} = 1 \ \rm MHz$. |
| − | *Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate $R = 1/T$ richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$ das erste Nyquistkriterium. | + | *Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate $R = 1/T$ richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$ das erste Nyquistkriterium. |
*Bei der dazugehörigen Spektralfunktion $G_{d}(f)$ erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum. | *Bei der dazugehörigen Spektralfunktion $G_{d}(f)$ erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum. | ||
*Der Rolloff–Faktor $r$ ist in dieser Aufgabe zu ermitteln. | *Der Rolloff–Faktor $r$ ist in dieser Aufgabe zu ermitteln. | ||
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*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen: | *Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen: | ||
:$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$ | :$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$ | ||
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| − | {Berechnen Sie das Nyquistspektrum $G_{d}(f)$. Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor? | + | {Berechnen Sie das Nyquistspektrum $G_{d}(f)$. Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor? |
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$f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$ | $f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$ | ||
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+Das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ ist an den Sendegrundimpuls $G_{s}(f)$ angepasst. | +Das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ ist an den Sendegrundimpuls $G_{s}(f)$ angepasst. | ||
| − | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$ $($bezogen auf $1 Ω)$ gilt? | + | {Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$ $($bezogen auf $1 Ω)$ gilt? |
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$p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$ | $p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $|f| \leq f_{2}$: | + | '''(1)''' Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $|f| \leq f_{2}$: |
:$$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$ | :$$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$ | ||
| − | *Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$. | + | *Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$. |
| − | * Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls): | + | * Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls): |
:$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 } | :$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 } | ||
{2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$ | {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Der Rolloff–Faktor beträgt | *Der Rolloff–Faktor beträgt | ||
:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum. | + | *Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum. |
| − | '''(2)''' Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$. | + | '''(2)''' Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet: $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$. |
| − | *Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$. | + | *Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$. |
*Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate. | *Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate. | ||
| − | '''(3)''' Die <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u> sind zutreffend: | + | '''(3)''' Die <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u> sind zutreffend: |
*Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung. | *Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung. | ||
| − | *Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten. | + | *Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten. |
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A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f | A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f | ||
= \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$ | = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter: | + | *Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter: |
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm | :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm | ||
V^2/Hz}}}\right)= | V^2/Hz}}}\right)= | ||
Aktuelle Version vom 4. Mai 2022, 10:59 Uhr
Cosinus-Spektrum (Sender & Empfänger)
Die nebenstehende Grafik zeigt
- das Spektrum $G_{s}(f)$ des Sendegrundimpulses,
- den Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ des Empfangsfilters
eines binären und bipolaren Übertragungssystems, die zueinander formgleich sind:
- $$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$
- $$H_{\rm E }(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
In der gesamten Aufgabe gelte $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$ und $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.
- Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate $R = 1/T$ richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$ das erste Nyquistkriterium.
- Bei der dazugehörigen Spektralfunktion $G_{d}(f)$ erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum.
- Der Rolloff–Faktor $r$ ist in dieser Aufgabe zu ermitteln.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Optimierung der Basisbandübertragungssysteme".
- Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive HTML5/JS Applet "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen".
- Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:
- $$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $|f| \leq f_{2}$:
- $$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$
- Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$.
- Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):
- $$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 } {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
- Der Rolloff–Faktor beträgt
- $$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
- Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.
(2) Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet: $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$.
- Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$.
- Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.
(3) Die erste und die dritte Lösungsalternative sind zutreffend:
- Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
- Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.
(4) Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Systems kann wie folgt berechnet werden:
- $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
- Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:
- $$E_{\rm B} = \ \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f = A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
- Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:
- $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2/Hz}}}\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{25}\right)= {\rm Q} (5) \hspace{0.1cm}\underline {= 0.287 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$
