Aufgaben:Aufgabe 1.4Z: Summe von Ternärgrößen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet. | + | *Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. |
| − | + | *Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet. | |
| − | Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann: | + | *Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann: |
:$$ s \in \{-3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3\}.$$ | :$$ s \in \{-3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3\}.$$ | ||
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]. | ||
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| − | {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positv ist: | + | {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positv ist: |
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${\rm Pr}(s>0) \ = \ $ { 0.4444 3% } | ${\rm Pr}(s>0) \ = \ $ { 0.4444 3% } | ||
| − | {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Eingangsgröße $x$ als auch die Summe $s$ positiv sind: | + | {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Eingangsgröße $x$ als auch die Summe $s$ positiv sind: |
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${\rm Pr}\big [(x>0) \cap (s>0)\big] \ = \ $ { 0.3333 3% } | ${\rm Pr}\big [(x>0) \cap (s>0)\big] \ = \ $ { 0.3333 3% } | ||
| − | {Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Eingangsgröße $x > 0$ ist, wenn $s > 0$ gilt: | + | {Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Eingangsgröße $x > 0$ ist, wenn $s > 0$ gilt: |
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${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ = \ $ { 0.75 3% } | ${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ = \ $ { 0.75 3% } | ||
| − | {Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positiv ist, wenn die Eingangsgröße $x > 0$ ist: | + | {Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positiv ist, wenn die Eingangsgröße $x > 0$ ist: |
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${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ = \ $ { 1 } | ${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ = \ $ { 1 } | ||
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In nebenstehender Grafik sind | In nebenstehender Grafik sind | ||
| − | *die drei zum Ereignis $ | + | *die drei zum Ereignis $\big[x > 0\big]$ gehörenden Felder violett umrandet, |
| − | * die Felder für $ | + | * die Felder für $\big[s > 0\big]$ gelb hinterlegt. |
Aktuelle Version vom 30. November 2021, 16:42 Uhr
Summe zweier Ternärgrößen $x$ und $y$
Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen
- $$x ∈ {–2, \ 0, +2},$$
- $$y ∈ {–1, \ 0, +1}.$$
- Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
- Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.
- Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann:
- $$ s \in \{-3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3\}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
Fragebogen
Musterlösung
Ternärgrößen im Venndiagramm
In nebenstehender Grafik sind
- die drei zum Ereignis $\big[x > 0\big]$ gehörenden Felder violett umrandet,
- die Felder für $\big[s > 0\big]$ gelb hinterlegt.
Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten können hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.
(1) Dieses Ereignis ist durch die gelb hinterlegten Felder gekennzeichnet:
- $$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$
(2) Hier gilt folgender Sachverhalt:
- $$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) \big ] = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$
(3) Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1) und (2) folgt:
- $$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} (\it s > \rm 0)\big] = \frac{{\rm Pr} [(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0)]}{{\rm Pr}(\it s > \rm 0)}= \frac{3/9}{4/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
(4) Analog zur Teilaufgabe (3) gilt nun:
- $$\rm Pr(\it s > \rm 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it x > \rm 0)=\frac{Pr \big[(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0) \big]}{Pr(\it x >\rm 0)}=\rm \frac{3/9}{3/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}.$$
