Nichtlineare digitale Modulation

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Eigenschaften nichtlinearer Verfahren

Die Gesamtheit aller Modulationsverfahren lassen sich alternativ wie folgt klassifizieren:

• Amplituden–, Phasen– und Frequenzmodulation (AM, PM, FM),
• analoge und digitale Modulationsverfahren,
• lineare und nichtlineare Modulationsverfahren.

Hinsichtlich des letzten Unterscheidungsmerkmals soll gelten [Klo01]:

Ein lineares Modulationsverfahren liegt vor, wenn eine beliebige Linearkombination von Signalen am Modulatoreingang zu einer entsprechenden Linearkombination an dessen Ausgang führt. Andernfalls spricht man von einem nichtlinearen Modulationsverfahren.

Die Grafik zeigt einige der Unterschiede hinsichtlich der oben angegebenen Klassifizierungen.

Zu Beginn von Kapitel 4 wurde bereits darauf hingewiesen, dass der wesentliche Unterschied zwischen einem analogen und einem digitalen Modulationsverfahren darin besteht, dass beim ersten ein analoges Quellensignal $q(t)$ anliegt und beim zweiten ein Digitalsignal. Bei genauerer Betrachtung wird man jedoch feststellen, dass es zwischen diesen Verfahren noch einige Unterschiede mehr gibt. Darauf wird nachfolgend genauer eingegangen.

• Die analoge Amplitudenmodulation ist ein lineares Modulationsverfahren. Die Ortskurve – also das äquivalente Tiefpass–Signal dargestellt in der komplexen Ebene – ist eine Gerade.

• Zwischen analoger PM und FM gibt es viele Gemeinsamkeiten ⇒ gemeinsame Beschreibung als Winkelmodulation. Die Ortskurve ist ein Kreisbogen. Bei einer harmonischen Schwingung gibt es ein Linienspektrum $S(f)$ bei Vielfachen der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ um die Trägerfrequenz.

• Die digitale Amplitudenmodulation, die man entweder als Amplitude Shift Keying (ASK) oder als On–Off–Keying (OOK) bezeichnet, ist ebenfalls linear. Die Ortskurve besteht im binären Fall nur noch aus zwei Punkten.

• Da sich die binäre Phasenmodulation (BPSK) als ASK mit bipolaren Amplitudenkoeffizienten darstellen lässt, ist diese ebenfalls linear. Die Form des BPSK–Leistungsdichtespektrums wird wesentlich durch das Betragsquadratspektrum $|G_s(f)|^2$ des Sendegrundimpulses bestimmt.

• Das bedeutet aber auch: Die Spektralfunktion der BPSK ist kontinuierlich in $f$. Würde man die BPSK als (analoge) Phasenmodulation mit digitalem Quellensignal $q(t)$ betrachten, so müssten zur Berechnung von $Φ_s(f)$ unendlich viele Bessel–Linienspektren miteinander gefaltet werden, wenn man $Q(f)$ als unendliche Summe von Einzelfrequenzen darstellt.

• Da die 4–QAM auch als Summe zweier zueinander orthogonaler und damit quasi–unabhängiger BPSK–Systeme beschrieben werden kann, stellt auch diese ein lineares Modulationsverfahren dar. Gleiches gilt für die höherstufigen QAM–Verfahren wie 16–QAM, 64–QAM usw..

• Eine höherstufige PSK, zum Beispiel die 8–PSK, ist nur in Sonderfällen linear, siehe [Klo01]. Die digitale Frequenzmodulation (Frequency Shift Keying, FSK) ist dagegen stets nichtlinear. Dieses Verfahren wird nachfolgend beschrieben, wobei wir uns auf die binäre FSK beschränken.

FSK – Frequency Shift Keying (1)

Wir gehen hier aus vom Sendesignal der analogen Frequenzmodulation aus,

$$s(t) = s_0 \cdot \cos (\psi(t)) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \psi(t) = 2\pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$ und dem rechteckförmigen Binärsignal mit $a_ν ∈$ {+1, –1} ⇒ bipolare Signalisierung: $$q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} g_s(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} 0 < t < T\hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ Fasst man die Amplitude $A$ und die Modulatorkonstante $K_{\rm FM}$ zum Frequenzhub (Definition siehe unten) $${\rm \Delta}f_{\rm A} = \frac{A \cdot K_{\rm FM}}{2 \pi}$$ zusammen, so lautet das FSK–Sendesignal im $ν$–ten Zeitintervall: $$s(t) = s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} ) )\hspace{0.05cm}.$$ Dieses lässt sich mit den beiden möglichen Signalfrequenzen $$f_{\rm +1} = f_{\rm T} +{\rm \Delta}f_{\rm A} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = f_{\rm T} -{\rm \Delta}f_{\rm A}$$ auch in folgender Form schreiben: $$s(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t ) \\ s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} a_{ \nu} = +1 \hspace{0.05cm}, \\ a_{ \nu} = -1\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen $f_{+1}$ und $f_{–1}$ auf. Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ selbst kommt im Signal nicht vor.

Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen FM, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)$ von der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Häufig wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit $Δf$ bzw. $F$ bezeichnet.

Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der Modulationsindex, der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation als $η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$ definiert wurde. Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird: $η ⇒ h$.

Bei der digitalen Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet man als den Modulationsindex $h$ das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate $1/T$:

$$h = \frac{2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}}{1/T} = 2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}\cdot T \hspace{0.05cm}.$$ Manchmal wird in der Fachliteratur $h$ auch als Phasenhub bezeichnet.

FSK – Frequency Shift Keying (2)

Die Grafik zeigt unten das FSK–Sendesignal $s(t)$ für

• das oben skizzierte binäre Quellensignal $q(t)$, und
• das darunter gezeichnete Trägersignal $z(t)$ mit vier Schwingungen pro Symboldauer $(f_{\rm T} · T = 4)$.

Der zugrundeliegende Frequenzhub ist $Δf_{\rm A} = 1/T$, was dem Modulationsindex $h =$ 2 entspricht. Die beiden möglichen Frequenzen sind somit

$$f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$$

Bei einem FSK–Übertragungssystem mit der Bitrate 1 Mbit/s $(T =$ 1 μs) und der Amplitude $A =$ 1 V des Quellensignals müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden:

$$K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}}{A } = \frac{2 \pi }{A \cdot T } \approx 6.28 \cdot 10^{6}\,\,{\rm V^{-1}s^{-1}}\hspace{0.05cm}.$$

Kohärente Demodulation der FSK

Die folgende Grafik zeigt den bestmöglichen Demodulator für binäre FSK, der kohärent arbeitet und demzufolge auch Kenntnis über die Phasenlage des FSK–Signals benötigt. Im Blockschaltbild ist dies berücksichtigt, indem das Empfangssignal $r(t)$ identisch mit dem Sendesignal $s(t)$ angenommen wurde – siehe Signalverläufe im vorherigen Abschnitt.

Dieser Demodulator arbeitet nach folgendem Prinzip:

• Es handelt sich hierbei um einen Maximum–Likelihood–Empfänger (ML) in der Realisierungsform mit Matched–Filter. Dieses Filter mit dem Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ kann bei dem vorausgesetzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls $g_s(t)$ auch als Integrator realisiert werden.
• Die Signale $b_+1(t)$ bzw. $b_{–1}(t)$ vor den Matched–Filtern ergeben sich durch die phasenrichtige Multiplikation mit den Schwingungen der Frequenz $f_{+1}$ bzw. $f_{–1}$.
• Der ML–Empfänger entscheidet sich bekanntlich für den Zweig (das Symbol) mit der größeren „Metrik”, wobei das nachgeschaltete Matched–Filters zu berücksichtigen ist. Das heißt: Gilt

$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) > d_{\rm -1}(\nu \cdot T) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \cdot T) > 0\hspace{0.05cm},$$

so wurde wahrscheinlich $a_ν =$ +1 gesendet.

• Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis so gezeichnet. Natürlich kann man die Matched–Filterung aber auch auf die rechte Seite der Differenzbildung verschieben, wie im unteren Bild dargestellt. Damit muss nur noch ein Filter realisiert werden.

In der Aufgabe A4.12 wird dieser FSK–Demodulator ausführlich behandelt. Auf dem entsprechenden Angabenblatt sehen Sie auch die Signalverläufe.

Fehlerwahrscheinlichkeit der orthogonalen FSK

Man spricht von orthogonaler FSK,

• wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von 0.5 ist, und damit
• der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.25/T$.

Beim kohärenten Demodulator ist der Korrelationskoeffizient zwischen $d_{+1}(T_{\rm D})$ und $d_{–1}(T_{\rm D})$ zu allen Detektionszeitpunkten gleich 0. Der Betrag $|d(T_{\rm D})|$ – also der Abstand der Detektionsabtastwerte von der Schwelle – ist somit konstant. Es treten keine Impulsinterferenzen auf.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich zu:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = \frac{1}{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$ wenn man von den folgenden Voraussetzungen ausgeht:

• orthogonale FSK,
• AWGN–Kanal (gekennzeichnet durch den Quotienten $E_{\rm B}/N_0)$, und
• der hier beschriebenen kohärenten Demodulation.

Dies entspricht einer Degradation von 3 dB gegenüber der BPSK, weil

• zwar der kohärente FSK–Demodulator bezüglich des Nutzsignals das gleiche Ergebnis liefert,
• auch die Rauschleistungen in den beiden Zweigen genau so groß sind wie bei der BPSK,
• es aber wegen der Subtraktion zu einer Verdopplung der Gesamtrauschleistung kommt.

Während aber bei der BPSK eine nichtkohärente Demodulation auf keinen Fall möglich ist, gibt es auch einen nichtkohärenten FSK–Demodulator, allerdings mit etwas erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = \frac{1}{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$ Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt im Kapitel 4.5 des Buches „Digitalsignalübertragung”.

Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung

Wir betrachten weiter die orthogonale FSK. Die Grafik zeigt oben das Quellensignal $q(t)$ und das FSK–Signal $s_{\rm A}(t)$ mit dem Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 1/T$ ⇒ Modulationsindex $h = 2 · Δf_{\rm A} · T = 2$.

Zu den weiteren Signalverläufen ist Folgendes anzumerken:

• $s_{\rm B}(t)$ verwendet die Momentanfrequenzen $f_{+1} = 4.5/T$ und $f_{–1} = 3.5/T ⇒ Δf_{\rm A} ·T = 0.5 ⇒ h = 1.$ Auch diese FSK ist orthogonal, da $h =$ 1 ein Vielfaches von 0.5 ist. Bei kleinerem $h$ ist aber die Bandbreiteneffizienz besser ⇒ das Spektrum $S_{\rm B}(f)$ ist weniger breit als das Spektrum $S_{\rm A}(f)$.
• Allerdings erkennt man im Signal $s_{\rm B}(t)$ an jeder Symbolgrenze einen Phasensprung um $π$, wodurch sich wieder eine Verbreiterung des Spektrums ergibt. Solche Phasensprünge lassen sich durch Phasenanpassung vermeiden. Man spricht dann von Continuous Phase Modulation (CPM).
• Auch beim CPM–Signal $s_{\rm C}(t)$ gilt $f_{+1} = 4.5/T, f_{–1} = 3.5/T$ und $h = 1$. Im Bereich von 0 ... $T$ wird der Koeffizient $a_1 =$ +1 mit $\cos (2π·f_{+1}·t)$ repräsentiert, im Bereich $T ... 2T$ dagegen der ebenfalls positive Koeffizient $a_2 =$ +1 durch die um $π$ verschobene Funktion $\ –\cos (2π·f_{+1}·t)$ dargestellt.
• Der Modulationsindex $h =$ 0.5 von Signal $s_{\rm D}(t)$ ist der kleinstmögliche Wert, der eine orthogonale FSK ermöglicht ⇒ Bezeichnung Minimum Shift Keying (MSK). Bei MSK sind bei jeder Symbolgrenze – je nach den vorherigen Symbolen – vier unterschiedliche Anfangsphasen möglich.

Zur Verdeutlichung des hier dargelegten Sachverhaltens gibt es das Interaktionsmodul

Continuous Phase Modulation (CPM)

MSK – Minimum Shift Keying

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Erzeugung einer MSK–Modulation und typische Signalverläufe an verschiedenen Punkten des MSK–Senders. Man erkennt

• das digitale Nachrichtensignal am Punkt 1 (Quelle), bestehend aus einer Folge von Diracimpulsen im Abstand $T$, gewichtet mit den Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈$ {–1, +1}:

$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• das Rechtecksignal $q_{\rm R}(t)$ am Punkt 2 nach Faltung mit dem Rechteckimpuls $g(t)$ der Dauer $T$ und der Höhe $1/T$ (die Amplitude wurde aus Kompatibilitätsgründen zu späteren Abschnitten so gewählt):

$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• den herkömmlichen Frequenzmodulator, der sich entsprechend den Angaben in Kapitel 3.2 als Integrator und nachgeschaltetem Phasenmodulator realisieren lässt. Für das Signal am Punkt 3 gilt:

$$\phi(t) = \frac{\pi}{2}\cdot \int_{0}^{t} q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Phasenwerte bei Vielfachen der Symboldauer $T$ sind Vielfache von $π$/2, wobei der für MSK gültige Modulationsindex $h =$ 0.5 berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich das MSK–Signal am Punkt 4 des Blockschaltbildes zu

$$s(t) = s_0 \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + \phi(t)) = s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )) \hspace{0.05cm}.$$

Realisierung der MSK als Offset–QPSK (1)

Durch einen modifizierten Betrieb von Offset Quaternary Phase Shift Keying (O–QPSK) gemäß der unteren Grafik lässt sich Minimum Shift Keying (MSK) realisieren.

Gegenüber dem herkömmlichen Betrieb (obere Grafik) sind folgende Modifikationen zu berücksichtigen, die in der unteren Grafik rot hervorgehoben sind:

• Die Symboldauer $T$ der MSK ist gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$ des binären Eingangssignals, während bei der originären O–QPSK $T = 2 T_{\rm B}$ gilt.
• Anstelle der Seriell–Parallel–Wandlung und Signalraumzuordnung müssen nun die Quellensymbole umcodiert entsprechend $a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k$ werden.
• Alle Amplitudenkoeffizienten $a_k$ mit geradzahligem Index $(a_0, a_2, ....)$ werden dem Diracpuls im oberen Zweig eingeprägt, während $a_1, a_3, ...$ im unteren Zweig übertragen werden.
• Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun $2T$ anstelle von $T$ und der Versatz (Offset) im Quadraturzweig ist nicht mehr $T/2$, sondern $T$. In beiden Fällen ist aber der Offset gleich $T_{\rm B}$.
• Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls $g_s(t)$ möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$