Stochastische Systemtheorie

1. Stochastische Signaltheorie
2. Filterung stochastischer Signale
3. Stochastische Systemtheorie

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Problemstellung

Wir betrachten wie im Buch Lineare zeitinvariante Systeme die unten skizzierte Anordnung, wobei das System sowohl durch die Impulsantwort $h(t)$ als auch durch seinen Frequenzgang $H(f)$ eindeutig beschrieben ist. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Beschreibungsgrößen im Zeit- und Frequenzbereich ist durch die Fouriertransformation gegeben.

Legt man an den Eingang das Signal $x(t)$ an und bezeichnet das Ausgangssignal mit $y(t)$, so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:

• Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und der Impulsantwort $h(t)$:

$$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$$

Diese Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen.

• Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen. Das Eingangsspektrum $X(f)$ ist die Fouriertransformierte von $x(t)$. Die Multiplikation mit dem Frequenzgang $H(f)$ führt zum Spektrum $Y(f)$. Das Signal $y(t)$ lässt sich daraus durch die Fourierrücktransformation gewinnen.
• Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ nicht für alle Zeiten von ­$–∞$ bis $+∞$ vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren $X(f)$ und $Y(f)$ gar nicht existieren. In diesem Fall muss auf die in Kapitel 4.5 definierten Leistungsdichtespektren übergegangen werden.

Amplituden- und Leistungsdichtespektrum (1)

Wir betrachten nun einen ergodischen Zufallsprozess { $x(t)$}, dessen Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ als bekannt vorausgesetzt wird. Das Leistungsdichtespektrum $\it Φ_x(f)$ ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es sind folgende Aussagen zutreffend:

• Das Leistungsdichtespektrum $\it Φ_x(f)$ kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses { $x(t)$} angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von $x(t)$ explizit nicht bekannt ist.
• Das Amplitudenspektrum $X(f)$ ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion $X(f)$ auch die gesamte Zeitfunktion $x(t)$ von $–∞$ bis $+∞$ über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was eindeutig nicht der Fall sein kann.
• Ist entsprechend der nachfolgenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer $T_{\rm M}$ bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewandt werden.

• Zwischen dem Leistungsdichtespektrum $\it Φ_x(f)$ des unendlich ausgedehnten Zufallssignals $x(t)$ und dem Amplitudenspektrum $X_{\rm T}(f)$ des begrenzten Zeitausschnittes $x_{\rm T}(t)$ besteht dabei der folgende Zusammenhang:

$${\it \Phi_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M}}\cdot |X_{\rm T}(f)|^2.$$

Die Herleitung dieser wichtigen Beziehung folgt im nächsten Abschnitt. Sollten Sie sich für diesen mathematischen Beweis nicht interessieren, so können Sie gerne zum nachfolgenden Abschnitt Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals springen.