Synchrondemodulation

1. Modulationsverfahren
2. Amplitudenmodulation und AM–Demodulation
3. Synchrondemodulation

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Blockschaltbild und Zeitbereichsdarstellung

Eine Modulation am Sender macht nur Sinn,  wenn es möglich ist,  diese Signalumsetzung am Empfänger wieder rückgängig zu machen und zwar möglichst ohne Informationsverlust.  Bei jeder Form von Amplitudenmodulation – sei es Zweiseitenband (ZSB) oder Einseitenband (ESB) / mit oder ohne Träger – erfüllt der so genannte  Synchrondemodulator  diese Aufgabe.

ZSB–Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation

Zu diesem Blockschaltbild ist Folgendes anzumerken:

• Wir betrachten hier „ZSB–AM ohne Träger”  $($Modulationsgrad  $m → ∞)$.  Die Synchrondemodulation ist aber auch bei „ZSB–AM mit Träger” anwendbar.
• Der Kanal sei ideal und die Störungen vernachlässigbar,  so dass das Empfangssignal  $r(t)$  identisch mit dem Sendesignal  $s(t)$  ist:

$$r(t) = s(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

• Im Empfänger wird  $r(t)$  mit dem empfängerseitigen Träger  $z_{\rm E}(t)$  multipliziert, das bis auf den Faktor  $2$  identisch mit dem sendeseitigen Träger  $z(t)$  ist:

$$z_{\rm E}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

• Das Ergebnis der Multiplikation ist das Signal  $b(t)$.  Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Umformung  $\cos^2(α) = 1/2 · \big [1 + \cos(2α)\big ]$  erhält man

$$b(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t) = 2 \cdot q(t) \cdot \cos^2(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T}) = q(t) + q(t) \cdot \cos(2 \cdot \omega_{\rm T} \cdot t + 2\cdot \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

• Der zweite Term liegt im Bereich um die doppelte Trägerfrequenz.  Gilt für die Signalbandbreite  $B_{\rm NF} < f_{\rm T}$,  was in der Praxis stets zutrifft,  so kann dieser Anteil durch einen geeignet dimensionierten Tiefpass  $H_{\rm E}(f)$  unterdrückt werden,  und man erhält  

$$v(t) = q(t).$$

Beschreibung im Frequenzbereich

Ausgehend von einem geraden Quellensignal  $q(t)$   ⇒   reelles Spektrum  $Q(f)$  und einem Sinus–Träger  $z(t)$  ergibt sich das imaginäre Sendespektrum  $S(f)$  gemäß der zweiten Skizze,  wobei mit  $A_{\rm T} ≠ 0$  auch die ZSB–AM mit Träger  (rote Diracfunktion)  berücksichtigt ist.  Aufgrund des idealen Kanals gilt  $R(f) = S(f)$.

Darstellung der Synchrondemodulation im Frequenzbereich;
$B(f)$  gemäß der unteren Skizze,  aber mit schraffierten Anteilen

Die Wirkungsweise des Synchrondemodulators lässt sich im Frequenzbereich wie folgt erklären:

• Das empfängerseitige Trägersignal  $z_{\rm E}(t) = 2 · z(t) = 2 · \sin(ω_{\rm T} · t)$  führt im Spektralbereich zu zwei Diracfunktionen bei  $\pm f_{\rm T}$  mit den Gewichten  $\pm \rm j$.  Der negative Imaginärteil tritt bei  $f = +f_{\rm T}$  auf.

• Der Multiplikation  $b(t) = r(t) · z_{\rm E}(t)$  entspricht die Faltung der zugehörigen Spektren.  Das Ergebnis ist in der unteren Skizze dargestellt,  wenn man den Einfluss des nachfolgenden Tiefpasses  (Schraffierung)  außer Betracht lässt:

$$B(f) = R(f) \star Z_{\rm E}(f)\hspace{0.05cm}.$$

• Die Faltung der Diracfunktion  $- {\rm j} \cdot δ(f – f_{\rm T})$  mit dem rein imaginären Spektrum  $R(f)$  führt zu rein reellen Spektralanteilen um  $f = 0$  und  $f = 2f_{\rm T}$.  Diese insgesamt vier Anteile sind in der Grafik mit einem „Plus” versehen.

• Das zweite Faltungsprodukt  ${\rm j} · δ(f + f_{\rm T}) \star R(f)$  liefert neben einem Anteil bei  $–2f_{\rm T}$  auch einen niederfrequenten Spektralanteil um  $f = 0$.  Diese (ebenfalls vier) Spektralanteile sind mit „Minus” markiert.

• Das Spektrum nach dem Tiefpass  $H_{\rm E}(f)$  ist  $V(f) = Q(f) + A_{\rm T} · δ(f)$.  Bei ZSB–AM mit Träger kann der störende Gleichanteil durch eine untere Bandbegrenzung entfernt werden:

$$H_{\rm E}(f = 0) = 0.$$

• Die farbliche Zuordnung in der Grafik  (OSB blau, USB grün, Träger rot)  lässt erkennen, dass der Synchrondemodulator das  $\rm OSB$  als auch das  $\rm USB$  zur Signalrekonstruktion nutzt.

Voraussetzungen für die Anwendung des Synchrondemodulators

Das Ausgangssignal  $v(t)$  ist identisch mit dem Quellensignal  $q(t)$,  wenn folgende Kriterien erfüllt sind:

• Die Bandbreite  $B_{\rm NF}$  des Quellensignals ist kleiner als die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Diese Einschränkung ist nicht sonderlich gravierend und für die Praxis nicht relevant.

• Die Trägerfrequenzen von Sender und Empfänger stimmen exakt überein.  Dies erfordert eine Trägerrückgewinnung beim Empfänger und ist mit gewissen „Kosten” verbunden.

• Zwischen den sende– und empfängerseitig zugesetzten Trägersignalen  $z(t)$  und  $z_{\rm E}(t)$  besteht zudem eine vollkommene Phasensynchronität.

• Der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  ist im Durchlassbereich  $f_{\rm T} - B_{\rm NF} ≤ |f| ≤ f_{\rm T} + B_{\rm NF}$  ideal gleich  $1$.  Eine frequenzunabhängige Dämpfung oder frequenzlineare Phase  (Laufzeit)  werden meist toleriert.

• Der Einfluss des Rauschens und externer Störungen wird bei dieser Beschreibung als vernachlässigbar klein angenommen.  Aber auch bei nicht vernachlässigbarem Rauschen ist der Synchrondemodulator anderen Demodulatoren überlegen.

• Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  ist für  $|f| ≤ B_{\rm NF}$  gleich „Eins” und für $|f| ≥ 2f_{\rm T} - B_{\rm NF}$ identisch „Null”.  Der Verlauf dazwischen ist nicht relevant  (siehe Grafik im  vorherigen Abschnitt).

• Beim Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” muss zusätzlich mit  $H_{\rm E}(f = 0) ≡ 0$  sicher gestellt werden,  dass der beim Sender zugesetzte Träger im Sinkensignal nicht mehr enthalten ist.

• In den folgenden vier Abschnitten werden die Auswirkungen beschrieben,  wenn einige der genannten Voraussetzungen nicht erfüllt sind.

Einfluss eines Frequenzversatzes

Wie der Name  „Synchrondemodulator”  bereits zum Ausdruck bringt,  funktioniert dieser nur bei völliger Synchronität zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger. 

Unterscheiden sich dagegen die Trägerfrequenzen um einen  Frequenzversatz  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, zum Beispiel

$$\begin{align*}z(t) & = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}, \\ z_{\rm E}(t) & = 2 \cdot \cos(2 \pi (f_{\rm T} + \Delta\hspace{-0.05cm} f_{\rm T}) \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},\end{align*}$$

so erhält man für das Spektrum des Sinkensignals:

$$V(f) = {1}/{2}\cdot Q(f + \Delta \hspace{-0.05cm}f_{\rm T}) + {1}/{2}\cdot Q(f - \Delta\hspace{-0.05cm} f_{\rm T}) = Q(f) \star \big[ {1}/{2}\cdot \delta(f + \Delta\hspace{-0.05cm} f_{\rm T}) + {1}/{2}\cdot \delta (f - \Delta \hspace{-0.05cm}f_{\rm T}) \big] \hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis lässt sich anhand der Skizze auf der Seite  Beschreibung im Frequenzbereich  verifizieren.  Nach Transformation der Gleichung in den Zeitbereich erhält man:

$$v(t) = q(t) \cdot \cos(2 \pi \cdot \Delta \hspace{-0.05cm}f_{\rm T} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$ 

• Bei ZSB–AM  (mit oder ohne Träger)  führt die  Synchrondemodulation mit Frequenzversatz  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$ zu  Dämpfungsverzerrungen,  gekennzeichnet durch den  zeitabhängigen Faktor  $\cos(2 \pi \cdot \Delta \hspace{-0.05cm}f_{\rm T} \cdot t )$.

• Der Frequenzversatz  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T}$, der auf  Realisierungsungenauigkeiten der Trägerrückgewinnung  zurückgeht,  ist meist sehr klein und bewegt sich im Bereich von einigen Hertz bis etwa  $100\text{ Hz}$.  In diesem Zusammenhang spricht man dann von einer  „Schwebung”.

Beeinträchtigung der Synchrondemodulation durch einen Frequenzversatz

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt

• ein cosinusförmiges Quellensignal mit der Frequenz  $f_{\rm N} = 1\ \rm kHz$  
  ⇒   blaue Schwingung, und
• das mit einem Synchrondemodulator gewonnene Sinkensignal  $v(t)$  
  ⇒   rote Kurve.

Hierbei wurde ein Frequenzversatz von  $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T} = 100\ \rm Hz$  zugrundegelegt.  Damit ergibt sich:

$$\begin{align*}v(t ) & = 1\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t) \cdot \cos (2 \pi \cdot 0.1\,{\rm kHz} \cdot t) =\\ &= 0.5\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 0.9\,{\rm kHz} \cdot t) + 0.5\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 1.1\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Spektral gesehen werden aus der  $1\ \rm kHz$–Schwingung zwei überlagerte Schwingungen mit den Frequenzen  $0.9\ \rm kHz$  und  $1.1\ \rm kHz$  halber Amplitude.

• Es entstehen neue Frequenzen – also  nichtlineare Verzerrungen. 
• Die gesendete Frequenz  $(1\ \rm kHz)$  ist dagegen in  $v(t)$  nicht mehr enthalten.

Einfluss eines Phasenversatzes

Nun gelte für das sende– und für das empfängerseitige Trägersignal:

$$\begin{align*}z(t) & = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}, \\ z_{\rm E}(t) & = 2 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm E})\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Damit erhält man für das Signal direkt nach der Multiplikation mit dem  Phasenversatz  $Δ \mathbf{ϕ_{\rm T} = ϕ_{\rm E} - ϕ_{\rm T} }$:

$$b(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T}) \cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm E})= q(t)\cdot \cos(\Delta \phi_{\rm T}) + q(t) \cdot \cos(2 \cdot \omega_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm E}+ \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Unter Berücksichtigung des Tiefpassfilters ergibt sich somit für das Sinkensignal:

$$v(t) = q(t)\cdot \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$ 

• Bei ZSB–AM  (mit oder ohne Träger)  führt die  Synchrondemodulation mit Phasenversatz   $Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} }$  nicht zu Verzerrungen,

sondern lediglich zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung um den zeitunabhängigen Faktor  $\cos(Δ\mathbf{ϕ_{\rm T} })$. 

• Der Grund für diese weniger gravierende Signalveränderung als im Falle eines Frequenzversatzes ist,  dass hier die Zeit  $t$  im Argument der Cosinusfunktion fehlt.

Beeinträchtigung der Synchrondemodulation durch Phasenversatz

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt

• oben die Signale  $q(t)$  und  $s(t)$  am Sender und
• unten die empfängerseitigen Signale  $b(t)$  und  $v(t)$.

Aufgrund des Phasenversatzes um  $Δ \mathbf{ϕ_{\rm T} } = π/3\ (60^\circ)$  ist das Sinkensignal  $v(t)$  nur halb so groß wie das Quellensignal  $q(t)$.

Die Signalform von  $q(t)$  bleibt jedoch im Ausgangssignal  $v(t)$  erhalten.

Einfluss linearer Kanalverzerrungen

Im Abschnitt  Dämpfungsverzerrungen  des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” wurde bereits angedeutet, dass das gesamte Übertragungssystem – bestehend aus  $\rm M$odulator,  $\rm K$anal und  $\rm D$emodulator – durch den resultierenden Frequenzgang  $H_{\rm MKD}(f)$  vollständig beschrieben werden kann,

Amplitudenmodulation und Synchrondemodulation

• wenn entweder das System verzerrungsfrei ist, oder
• oder lediglich lineare Verzerrungen hinsichtlich der Signale  $q(t)$  und  $v(t)$  entstehen.

Dagegen werden  nichtlineare Verzerrungen  durch dieses Ersatzschaltbild nicht erfasst,

1. da aufgrund des multiplikativen Zusammenhangs  $V(f) = Q(f)\cdot H_{\rm MKD}(f)$  das Entstehen neuer Frequenzen nicht möglich ist 
2. Ist  $Q(f_0) = 0$, so wird stets auch  $V(f_0) = 0$  gelten.

Obige Voraussetzungen sind bei folgender Systemvariante erfüllt:

• Der Modulator erzeugt eine  »ZSB–AM«  (mit oder ohne Träger) um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.
• Der  »Kanal«  ist durch den Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  mit Bandpass–Charakter beschreibbar und dessen Bandbreite ausreichend.
• Der  »Synchrondemodulator«  ist frequenz– und phasensynchron und das Filter  $H_{\rm E}(f)$  ist ideal (rechteckförmig).

$\text{Definition:}$  Bei diesen günstigen Voraussetzungen lautet der  resultierende Frequenzgang  von Modulator–Kanal–Demodulator:

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big[ H_{\rm K}(f + f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f - f_{\rm T})\big] \hspace{0.05cm}.$$

• Ist  $\vert H_{\rm MKD}(f) \vert$  im Bereich der Signalbandbreite nicht konstant,  so werden die verschiedenen Spektralanteile des Quellensignals  $q(t)$  auch unterschiedlich übertragen   ⇒   "Dämpfungsverzerrungen".
• Ebenso kann es zu  "Phasenverzerrungen"  kommen,  wenn die Phasenfunktion  $\text{arc} \ H_{\rm MKD}(f)$  nichtlinear in  $f$  ist.

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik verdeutlicht die obige Berechnungsvorschrift für die resultierende Systemfunktion.

Einfluss linearer Kanalverzerrungen

• Aus dem unsymmetrischen Bandpass  $H_{\rm K}(f)$  –  bezogen auf die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  –  wird die im NF–Bereich  $($um $f = 0)$  symmetrische Funktion  $H_{\rm MKD}(f)$.

• Besteht das Quellensignal aus zwei Frequenzanteilen – in der Grafik an den roten Markierungen zu erkennen – so wird die Spektrallinie bei  $f_2$  stärker gedämpft als die Frequenz  $f_1$   ⇒   "lineare Dämpfungsverzerrungen".

• Dass  $H_{\rm MKD}(f)$  auch Anteile um  $±2f_{\rm T}$  beinhaltet,  ist nicht weiter störend.  Diese beeinträchtigen die Tiefpass-Betrachtung nicht.

Einfluss von Rauschstörungen

Nun soll die Frage geklärt werden,  in wie weit die Übertragungsqualität durch ein stochastisches Stör- bzw. Rauschsignal  $n(t)$  beeinträchtigt wird.  Wir gehen dabei von folgendem Szenario aus,  das bereits auf der Seite  Untersuchungen beim AWGN–Kanal  vorgestellt wurde.

Untersuchungen zum AWGN–Kanal

Insbesondere werden folgende Annahmen getroffen:

• Betrachtet wird eine Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Modulationsgrad  $m$  sowie ein idealer Synchrondemodulator ohne Phasen- und Frequenzversatz.
• Entsprechend dem erweiterten AWGN–Kanalmodell gilt für das Empfangssignal,  wobei  $α_{\rm K}$  ein frequenzunabhängiger Faktor ist und das Störsignal  $n(t)$  weißes Rauschen mit der zweiseitigen Rauschleistungsdichte  $N_0/2$  modelliert:

$$r(t) = \alpha_{\rm K} \cdot s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Stellvertretend für ein Quellensignal  $q(t)$  der Bandbreite  $B_{\rm NF}$  wird hier von einem cosinusförmigen Nachrichtensignal der Frequenz  $B_{\rm NF}$  ausgegangen:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot B_{\rm NF} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$

Mit diesen Annahmen gilt für das Sinkensignal  $v(t) = \alpha_{\rm K} \cdot q(t) + \varepsilon(t) \hspace{0.05cm}$,  wobei die Ursache der stochastischen Komponente  $ε(t)$  am Ausgang das Bandpass–Rauschen  $n(t)$  am Eingang des Synchrondemodulators ist.

$\text{Definition:}$ 

• Als quantitatives Maß für die Übertragungsqualität wird das  Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis  an der Sinke verwendet, das hier mit den Leistungen von  $q(t)$  und  $ε(t)$  wie folgt lautet:

$$\rho_v = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon} \hspace{0.05cm}.$$

• Dieses Verhältnis bezeichnen wir im Folgenden kurz als das  Sinken–SNR   $ρ_v$  und die logarithmische Darstellung  $10 · \lg \ ρ_v$  als den  "Sinken-Störabstand in dB".

Berechnung der Rauschleistung

Wir berechnen zunächst die Leistung  $P_ε$  des Fehlersignals  $ε(t)$,  die wir der Einfachheit halber als „Rauschleistung” bezeichnen. 

Das Fehlersignal  $ε(t)$  erhält man aus dem Störsignal  $n(t)$  am Eingang durch

• Multiplikation mit  $z_{\rm E}(t) = 2 · \cos(ω_{\rm T} · t + \mathbf{ϕ_{\rm T} })$  und
• eine anschließende (ideale) Tiefpassfilterung auf den Frequenzbereich  $\pm B_{\rm NF}$.

Für das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ_ε}'(f)$  ohne Berücksichtigung des Tiefpasses gilt mit  ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$:

$${\it \Phi}_\varepsilon \hspace{-0.10cm} '(f) = {\it \Phi}_n (f) \star {\it \Phi}_{z {\rm E}}(f) \hspace{0.05cm}.$$

In den Büchern „Signaldarstellung” und „Stochastische Signaltheorie” wurde gezeigt, dass

• das  Spektrum  eines Cosinussignals  $x(t) = A · \cos(2πf_{\rm T}t)$  wie folgt gegeben ist:

$$X(f) = \frac{A}{2}\cdot \delta(f + f_{\rm T}) + \frac{A}{2}\cdot \delta(f - f_{\rm T}) \hspace{0.05cm},$$

• während für dessen  Leistungsdichtespektrum  gilt:

$${\it \Phi}_x (f) = \frac{A^2}{4}\cdot \delta(f + f_{\rm T}) + \frac{A^2}{4}\cdot \delta(f - f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

Angewandt auf das empfangsseitige Trägersignal  $z_{\rm E}(t)$  lautet die zweite Gleichung mit  $A = 2$,  und zwar unabhängig von der Phase 
(da im Leistungsdichtespektrum alle Phasenbeziehungen verloren gehen):

$${\it \Phi}_{z {\rm E}}(f)= \delta(f + f_{\rm T}) + \delta(f - f_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Beispiel 4:}$   Unter Berücksichtigung,  dass  ${\it Φ}_n(f)$  für alle Frequenzen konstant ist   ⇒   „Weißes Rauschen”,  ergibt sich:

$${\it \Phi}_\varepsilon \hspace{-0.10cm} '(f) = {\it \Phi}_n (f + f_{\rm T}) + {\it \Phi}_n (f - f_{\rm T}) = 2 {\it \Phi}_n (f) = N_0 \hspace{0.05cm}.$$

Das Leistungsdichtespektrum (LDS) nach dem Tiefpassfilter ist für  $\vert f\vert < B_{\rm NF}$  genau so groß und außerhalb Null:

$${\it \Phi}_\varepsilon (f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r} }\\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \vert f \vert < B_{\rm NF} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm otherwise} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Durch Integration erhält man die Leistung  $P_ε = 2N_0 · B_{\rm NF}$.  Mit diesem Zwischenergebnis kann somit für das Sinken–SNR geschrieben werden:

$$\rho_v = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon} = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_q}{N_0 \cdot B_{\rm NF} } \hspace{0.05cm}.$$

Im nächsten Abschnitt wird noch der Zusammenhang zwischen der Leistung  $P_q$  des Quellensignals und der Sendeleistung  $P_{\rm S}$  hergestellt.

Zusammenhang zwischen den Leistungen von Quellensignal und Sendesignal

Um den Zusammenhang zwischen Sinken–SNR  $\rho_v$  und Sendeleistung  $P_{\rm S}$  angeben zu können,  benötigen wir noch den Zusammenhang zwischen den Leistungen von

• Quellensignal  $q(t)$  ⇒   Leistung  $P_q$,  und
• Sendesignal  $s(t)$  ⇒   Sendeleistung  $P_{\rm S}$.

$\text{Vorweg genommenes Ergebnis:}$  Im Falle der  »ZSB–AM mit Träger«  gilt dabei mit dem Modulationsgrad  $m$:

$$P_{\rm S} = { P_q}/{2} \cdot \hspace{0.05cm} \left( 1 + {2}/{m^2}\right)\hspace{0.05cm}.$$

• Anzumerken ist, dass diese Gleichung nur dann anwendbar ist,  wenn  $q(t)$  eine harmonische Schwingung beschreibt. 
• Die  »ZSB–AM ohne Träger«  ist in der Gleichung als Sonderfall für  $m → ∞$  mit enthalten.

$\text{Beweis:}$  Ausgegangen wird jeweils von Cosinusschwingungen,  also den folgenden Gleichungen:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$

$$s(t) = \big[ q(t) + A_{\rm T}\big] \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) = A_{\rm T} \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t ) + {A_{\rm N} }/{2}\cdot \cos\big [(\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t \big] + {A_{\rm N} }/{2}\cdot \cos\big[(\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t \big]\hspace{0.05cm}.$$

• Die Leistung des Quellensignals,  bezogen auf den Widerstand  $1 \ \rm Ω$,  beträgt mit der Periodendauer  $T_{\rm N}$:

$$P_{q} = \frac{1}{T_{\rm N} }\cdot\int_{0}^{ T_{\rm N} } {q^2(t)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{A_{\rm N}^2}{T_{\rm N} }\cdot\int_{0}^{T_{\rm N} } {\cos^2(2 \pi\cdot{t}/{T_{\rm N} })}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{A_{\rm N}^2}{2}\hspace{0.05cm}.$$

• Entsprechend erhält man für die Leistung des Sendesignals:

$$P_{\rm S} = \frac{A_{\rm T}^2}{2} + \frac{(A_{\rm N}/2)^2}{2} + \frac{(A_{\rm N}/2)^2}{2} = \frac{A_{\rm T}^2}{2} + \frac{A_{\rm N}^2}{4} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = {1}/{2} \cdot \left( P_q + A_{\rm T}^2 \right) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung gilt sowohl für  »ZSB–AM ohne Träger«  $(A_{\rm T} = 0)$  als auch für  »ZSB–AM mit Träger«. 

• Da  $q(t)$  als eine harmonische Schwingung vorausgesetzt wurde,  kann mit dem Modulationsgrad  $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$  hierfür auch geschrieben werden:

$$P_{\rm S} = {A_{\rm N}^2}/{4} \cdot \left( 1 +{2A_{\rm T}^2}/{A_{\rm N}^2} \right)= P_q/2 \cdot \left( 1 +{2}/{m^2} \right)\hspace{0.05cm}.\hspace{5.4cm}{\rm q.e.d.}$$

Sinken-SNR und Leistungskenngröße

Mit den Ergebnissen der letzten drei Abschnitte kann deshalb für das  Sinken–SNR der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation  geschrieben werden:

$$\rho_v = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon} = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} } \cdot \frac{1}{1 + {2}/{m^2} } \hspace{0.05cm}.$$

Sinken–SNR in linearer und doppelt–logarithmischer Darstellung

Nachfolgend wird diese Gleichung ausführlich diskutiert.  Bereits im Kapitel  Untersuchungen beim AWGN-Kanal  wurde begründet,  warum es Sinn macht,  das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit der nachfolgend benannten Leistungskenngröße  $ξ$  anzugeben:

$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \rho_v = \frac{\xi}{1 + {2}/{m^2}} \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Grafiken zeigen die entsprechenden Kurven

• links linear,
• rechts in doppelt–logarithmischer Darstellung.

Die Kurven sind wie folgt zu interpretieren:

• Für die Systemvariante  »ZSB–AM ohne Träger«  erhält man mit  $m → ∞$  aus der oberen Gleichung den einfachen Zusammenhang  $ρ_v = ξ$.  Dies ergibt sowohl bei der linearen als auch bei der doppelt–logarithmischen Darstellung die Winkelhalbierende.
• Eine größere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  führt ebenso wie ein größerer Übertragungsfaktor  $α_{\rm K}$  (⇒ geringere Dämpfung)  zu einem besseren Sinken–SNR.  $10 · \lg ρ_v$  wird aber auch durch eine kleinere Rauschleistungsdichte  $N_0$  und eine kleinere Bandbreite  $B_{\rm NF}$  bei sonst gleichen Bedingungen vergrößert.
• Bei einer  »ZSB–AM mit Träger«  gilt mit dem Modulationsgrad  $m$:

$$\rho_v = \xi \cdot \frac{1}{1 + {2}/{m^2}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_v = 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\xi - 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm} \left({1 + {2}/{m^2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$

• In der doppelt–logarithmischen Darstellung  (siehe rechte Grafik)  führt dies zu einer Parallelverschiebung der Kurven nach unten,  zum Beispiel bei  $m = 1$  um  $4.77$ dB  und bei  $m = 0.5$  um  $9.54$ dB.
• Alle Aussagen gelten unter der Voraussetzung eines idealen Synchrondemodulators.  In diesem Fall macht das Verfahren  »ZSB–AM mit Träger«  eigentlich keinen Sinn.  Der zugesetzte Träger führt hier nur zu einer unnötig großen Sendeleistung und kann zur Demodulation nicht genutzt werden.
• Die Kurven gelten für perfekte Frequenz– und Phasensynchronisation.  Um die Parameter  $f_{\rm T}$  und  $\mathbf{ϕ_{\rm T} }$  mit weniger Aufwand aus dem Empfangssignal  $r(t)$  ermitteln zu können,  macht allerdings ein kleiner Trägeranteil im Sendesignal durchaus Sinn.
• Mit  $m = 3$  ergibt sich dann nur eine unwesentliche Verschlechterung gegenüber  »ZSB–AM ohne Träger«  von weniger als einem dB.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.4: Frequenz– und Phasenversatz

Aufgabe 2.4Z: Tiefpass-Einfluss bei Synchrondemodulation

Aufgabe 2.5: ZSB–AM über einen Gaußkanal

Aufgabe 2.5Z: Nochmals Verzerrungen bei ZSB-AM

Aufgabe 2.6: Freiraumdämpfung

Aufgabe 2.6Z: Signal-to-Noise-Ratio (SNR)