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Exercises:Exercise 3.8: OVSF Codes

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Baumstruktur zur Konstruktion
eines OVSF–Codes

Die Spreizcodes für UMTS sollten

  • orthogonal sein, um dadurch eine gegenseitige Beeinflussung der Teilnehmer zu vermeiden,
  • gleichzeitig auch eine flexible Realisierung unterschiedlicher Spreizfaktoren  J  ermöglichen.


Ein Beispiel hierfür sind die  Codes mit variablem Spreizfaktor  (englisch:  Orthogonal Variable Spreading Factor, OVSF), die Spreizcodes der Längen von  J=4  bis  J=512  bereitstellen.

Diese können, wie in der Grafik zu sehen ist, mit Hilfe eines Codebaums erstellt werden. Dabei entstehen bei jeder Verzweigung aus einem Code  C  zwei neue Codes  (+C +C)  und  (+\mathcal{C} \ –\mathcal{C}).

Die Grafik verdeutlicht das hier angegebene Prinzip am Beispiel  J = 4. Nummeriert man die Spreizfolgen von  0  bis  J –1  durch, so ergeben sich hier die Spreizfolgen

\langle c_\nu^{(0)}\rangle = \ {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},
\langle c_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},
\langle c_\nu^{(2)}\rangle = \ {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},
\langle c_\nu^{(3)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.

Gemäß dieser Nomenklatur gibt es für den Spreizfaktor  J = 8  die Spreizfolgen  \langle c_\nu^{(0)}\rangle, \text{...} ,\langle c_\nu^{(7)}\rangle.

Anzumerken ist, dass kein Vorgänger und Nachfolger eines Codes von anderen Teilnehmern benutzt werden darf.

  • Im Beispiel könnten also vier Spreizcodes mit Spreizfaktor  J = 4  verwendet werden, oder
  • die drei gelb hinterlegten Codes – einmal mit  J = 2  und zweimal mit  J = 4.




Hinweise:


Fragebogen

1

Konstruieren Sie das Baumdiagramm für  J = 8. Welche OVSF–Codes ergeben sich daraus?

\langle c_\nu^{(1)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1,
\langle c_\nu^{(3)}\rangle = +\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1,
\langle c_\nu^{(5)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1,
\langle c_\nu^{(7)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ +\hspace{-0.08cm}1 \ -\hspace{-0.08cm}1.

2

Wieviele UMTS–Teilnehmer können mit  J = 8  maximal bedient werden?

K_{\rm max} \ = \

3

Wieviele Teilnehmer können mit  J = 8  versorgt werden, wenn drei von ihnen einen Spreizcode mit  J = 4  verwenden sollen?

K \ = \

4

Die Baumstruktur gelte für  J = 32.  Ist dann folgende Zuweisung machbar:  
Zweimal  J = 4, einmal  J = 8, eimal  J = 164  und achtmal  J = 32?

Ja.
Nein.


Musterlösung

OVSF–Baumstruktur für J = 8

(1)  Die folgende Grafik zeigt die OVSF–Baumstruktur für J = 8 Nutzer.

  • Daraus ist ersichtlich, dass die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4 zutreffen, nicht jedoch der zweite.


(2)  Wird jedem Nutzer ein Spreizcode mit dem Spreizgrad J = 8 zugewiesen, so können K_{\rm max} \ \underline{= 8} Teilnehmer versorgt werden.


(3)  Wenn drei Teilnehmer mit J = 4 versorgt werden, können nur mehr zwei Teilnehmer durch eine Spreizfolge mit J = 8 bedient werden (siehe beispielhafte gelbe Hinterlegung in der Grafik) \ \Rightarrow \ \ \underline{K = 5}.


(4)  Wir bezeichnen mit

  • K_{4} = 2 die Anzahl der Spreizfolgen mit J = 4,
  • K_{8} = 1 die Anzahl der Spreizfolgen mit J = 8,
  • K_{16} = 2 die Anzahl der Spreizfolgen mit J = 16,
  • K_{32} = 8 die Anzahl der Spreizfolgen mit J = 32,


Dann muss folgende Bedingung erfüllt sein:

K_4 \cdot \frac{32}{4} + K_8 \cdot \frac{32}{8} +K_{16} \cdot \frac{32}{16} +K_{32} \cdot \frac{32}{32} \le 32\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} K_4 \cdot8 + K_8 \cdot 4 +K_{16} \cdot 2 +K_{32} \cdot1 \le 32 \hspace{0.05cm}.
  • Wegen 2 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 8 = 32 ist die gewünschte Belegung gerade noch erlaubt   ⇒   Antwort JA.
  • Die zweimalige Bereitstellung des Spreizgrads J = 4 blockiert zum Beispiel die obere Hälfte des Baums, nach der Bereitstellung eines Spreizcodes mit J = 8 bleiben auf der J = 8–Ebene noch 3 der 8 Äste zu belegen, und so weiter und so fort.