Aufgabe 5.3Z: Analyse des BSC-Modells

Gegebene Fehlerfolge

Wir betrachten zwei verschiedene BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:

Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$ ,
Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$ .

Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$ , wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.

Die beiden Modelle sollen anhand

der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten

${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$

der Fehlerabstandsverteilung

$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$

der Fehlerkorrelationsfunktion

$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] =$

$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$

analysiert werden.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Binary Symmetric Channel (BSC).

Fragebogen

	Modell $M_1$ ,
	Modell $M_2$ .

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} E[a] \ = \$

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr}(a = 1) \ = \$

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr}(a = 2) \ = \$

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr}(a = E[a]) \ = \$

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} V_a(k = 2) \ = \$

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} V_a(k = 10) \ = \$

$M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} V_a(k = 11) \ = \$

Musterlösung

(1) Beim BSC–Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit

$p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit

$p$ . Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten

$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array} \hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$

$p$ lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$ . Dieser FAV–Wert ist unabhängig von $p$ gleich $(1–p)^0 = 1$ . Zutreffend sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5.

(2) Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$ . Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$ ⇒ $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde. Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise ⇒ Vorschlag 2.

(3) Der mittlere Fehlerabstand – also der Erwartungswert der Zufallsgröße $a$ – ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit ⇒ $E[a] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$ .

(4) Entsprechend der Gleichung ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$ erhält man:

${\rm Pr}(a = 1) \hspace{-0.1cm} \ \hspace{0.15cm} = \ \hspace{-0.1cm} 0.1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$

${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(a = 10)= 0.9^9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$

(5) Aus der Beziehung $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$ erhält man

$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = 1) - V_a(k = 2) = 0.1\hspace{0.05cm},$

$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 \hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}$

$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k = 11) = 0.3874-0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$

	FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$ ,
	FKF–Wert $\varphi_e(k = 10)$ ,
	FAV–Wert $V_a(k = 1)$ ,
	FAV–Wert $V_a(k = 2)$ ,
	FAV–Wert $V_a(k = 10)$ .