Frequenzgang und Impulsantwort

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Programmbeschreibung

Dargestellt werden impulsförmige symmetrische Zeitsignale   ⇒   „Impulse” $x(t)$ und die dazugehörigen Spektralfunktionen $X(f)$, nämlich

• Gaußimpuls (englisch: Gaussian pulse),
• Rechteckimpuls (englisch: Rectangular pulse),
• Dreieckimpuls (englisch: Triangular pulse),
• Trapezimpuls (englisch: Trapezoidal pulse),
• Cosinus–Rolloff–Impuls (englisch: Cosine-rolloff pulse).

Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung. Die englische Beschreibung finden Sie unter Englische Version: Frequency response & Pulse response.

Weiter ist zu beachten:

• Die Funktionen $x(t)$ bzw. $X(f)$ werden für bis zu zwei Parametersätzen in jeweils einem Diagramm dargestellt.
• Die roten Kurven und Zahlenangaben gelten für den linken Parametersatz, die blauen für den rechten Parametersatz.
• Die Abszissen $t$ (Zeit) und $f$ (Frequenz) sowie die Ordinaten $x(t)$ (Signalwerte) bzw. $X(f)$ (Spektralwerte) sind jeweils normiert.

$\text{Beispiel:}$  Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude $A_1 = 1$ und äquivalenter Impulsdauer $\Delta t_1 = 1$ ein, so ist $x_1(t)$ im Bereich $-0.5 < t < +0.5$ gleich $1$ und außerhalb dieses Bereichs gleich $0$. Die Spektralfunktion $X_1(f)$ verläuft si–förmig mit $X_1(f= 0) = 1$ und der ersten Nullstelle bei $f=1$.

Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit $A = K = 3 \ \rm V$ und $\Delta t = T = 2 \ \rm ms$ nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit $K = 3 \ \rm V$ und alle Spektralwerte mit $K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$ zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann $X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$ und die erste Nullstelle liegt bei $f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$.

Theoretischer Hintergrund

Frequenzgang $H(f)$ und Impulsantwort $h(t)$

• Der Frequenzgang (oder auch die Übertragungsfunktion eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems $H(f)$ gibt das Verhältnis zwischen Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $x(t)$ und dem dem Eingangsspektrum $X(f)$ an:

$$H(f) = \frac{Y(f)}{X(f)}.$$

• Ist das Übertragungsverhalten bei tiefen Frequenzen besser als bei höheren, so spricht man von einem Tiefpass (englisch: Low-pass Filter).
• Die Eigenschaften von $H(f)$ werden im Zeitbereich durch die Impulsantwort $h(t)$ ausgedrückt. Entsprechend dem zweiten Fourierintegral gilt:

$$h(t)={\rm IFT} [H(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot {\rm e}^{+{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}f\hspace{1cm} {\rm IFT}\hspace{-0.1cm}: \rm Inverse \ Fouriertransformation.$$

• Die Gegenrichtung wird durch das erste Fourierintegral beschrieben:

$$H(f)={\rm FT} [h(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t\hspace{1cm} \rm FT\hspace{-0.1cm}: \ Fouriertransformation.$$

• In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:

$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}H(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ \ \ H(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t .$$

• $Bei einem Vierpol   ⇒$X(f)$und$Y(f)$haben gleiche Einheiten ist$Y(f)$dimensionslos. Die Einheit der Impulsantwort ist$\rm 1/s$. Es gilt zwar$\rm 1/s = 1 \ Hz$, aber die Einheit &Hertz” ist in diesem Zusammenhang unüblich. *Der Zusammenhang zwischen diesem Modul „Frequenzgang & Impulsantwort” und dem ähnlich aufgebauten Applet [[Applets:Impulse_und_Spektren]] basiert auf dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]]. *Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit$T$normiert und alle Frequenzen auf$1/T \Rightarrow$die Spektralwerte$X(f)$müssen noch mit der Normierungszeit$T$multipliziert werden. <div class="greybox">$\text{Beispiel:}$Stellt man einen Rechteckimpuls mit Amplitude$A_1 = 1$und äquivalenter Impulsdauer$\Delta t_1 = 1$ein, so ist$x_1(t)$im Bereich$-0.5 < t < +0.5$gleich$1$und außerhalb dieses Bereichs gleich$0$. Die Spektralfunktion$X_1(f)$verläuft si–förmig mit$X_1(f= 0) = 1$und der ersten Nullstelle bei$f=1$. Soll mit dieser Einstellung ein Rechteckimpuls mit$A = K = 3 \ \rm V$und$\Delta t = T = 2 \ \rm ms$nachgebildet werden, dann sind alle Signalwerte mit$K = 3 \ \rm V$und alle Spektralwerte mit$K \cdot T = 0.006 \ \rm V/Hz$zu multiplizieren. Der maximale Spektralwert ist dann$X(f= 0) = 0.006 \ \rm V/Hz$und die ersteNullstelle liegt bei$f=1/T = 0.5 \ \rm kHz$. <div style="clear:both;"> </div> </div> ==='"`UNIQ--h-4--QINU`"'Gauß–Tiefpass$\Rightarrow$Gaussian Low–pass === *Die Zeitfunktion des Gaußimpulses mit der Höhe$K$und der (äquivalenten) Dauer$\Delta t$lautet: :'"`UNIQ-MathJax6-QINU`"' *Die äquivalente Zeitdauer$\Delta t$ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck. *Der Wert bei$t = \Delta t/2$ist um den Faktor$0.456$kleiner als der Wert bei$t=0$. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax7-QINU`"' *Je kleiner die äquivalente Zeitdauer$\Delta t$ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum   ⇒   [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. *Sowohl$x(t)$als auch$X(f)$sind zu keinem$f$- bzw.$t$-Wert exakt gleich Null. *Für praktische Anwendungen kann der Gaußimpuls jedoch in Zeit und Frequenz als begrenzt angenommen werden. Zum Beispiel ist$x(t)$bereits bei$t=1.5 \Delta t$auf weniger als$0.1\% $des Maximums abgefallen. ==='"`UNIQ--h-5--QINU`"'Idealer (rechteckförmiger) Tiefpass$\Rightarrow$Rectangular Low–pass === *Die Zeitfunktion des Rechteckimpulses mit der Höhe$K$und der (äquivalenten) Dauer$\Delta t$lautet: :'"`UNIQ-MathJax8-QINU`"' *Der$\pm \Delta t/2$–Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert. *Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral): :'"`UNIQ-MathJax9-QINU`"' *Der Spektralwert bei$f=0$ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion. *Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen$1/\Delta t$. *Das Integral über der Spektralfunktion$X(f)$ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt$t=0$, also der Impulsamplitude$K$. ==='"`UNIQ--h-6--QINU`"'Dreieck–Tiefpass$\Rightarrow$Triangular Low–pass=== *Die Zeitfunktion des Dreieckimpulses mit der Höhe$K$und der (äquivalenten) Dauer$\Delta t$lautet: :'"`UNIQ-MathJax10-QINU`"' *Die absolute Zeitdauer ist$2 \cdot \Delta t$; diese ist doppelt so groß als die des Rechtecks. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax11-QINU`"' *Obige Zeitfunktion ist gleich der Faltung zweier Rechteckimpulse, jeweils mit Breite$\Delta t$*Daraus folgt:$X(f)$beinhaltet anstelle der${\rm si}$-Funktion die${\rm si}^2$-Funktion. *$X(f)$weist somit ebenfalls Nullstellen im äquidistanten Abständen$1/\Delta f$auf. *Der asymptotische Abfall von$X(f)$erfolgt hier mit$1/f^2$, während zum Vergleich der Rechteckimpuls mit$1/f$abfällt. ==='"`UNIQ--h-7--QINU`"'Trapez–Tiefpass$\Rightarrow$Trapezoidal Low–pass === Die Zeitfunktion des Trapezimpulses mit der Höhe$K$und den Zeitparametern$t_1$und$t_2$lautet: :'"`UNIQ-MathJax12-QINU`"' *Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:$\Delta t = t_1+t_2$. *Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit: :'"`UNIQ-MathJax13-QINU`"' *Der Sonderfall$r=0$entspricht dem Rechteckimpuls der Sonderfall$r=1$dem Dreieckimpuls. *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax14-QINU`"' *Der asymptotische Abfall von$X(f)$liegt zwischen$1/f$(für Rechteck,$r=0$) und$1/f^2$(für Dreieck,$r=1$). ==='"`UNIQ--h-8--QINU`"'Cosinus-Rolloff-Tiefpass$\Rightarrow$Cosine-rolloff Low–pass === Die Zeitfunktion des Cosinus-Rolloff-Impulses mit der Höhe$K$und den Zeitparametern$t_1$und$t_2$lautet: :'"`UNIQ-MathJax15-QINU`"' *Für die äquivalente Impulsdauer (flächengleiches Rechteck) gilt:$\Delta t = t_1+t_2$. *Der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) kennzeichnet die Flankensteilheit: :'"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' *Der Sonderfall$r=0$entspricht dem Rechteckimpuls der Sonderfall$r=1$dem Cosinus-Quadrat-Impuls . *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax17-QINU`"' *Je größer der Rolloff-Faktor$r$ist, desto schneller nimmt$X(f)$asymptotisch mit$f$ab. ==='"`UNIQ--h-9--QINU`"'Cosinus-Quadrat-Tiefpass === *Dies ist ein Sonderfall des Cosinus-Rolloff-Impulses und ergibt sich für$r=1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}t_1=0, t_2= \Delta t$: :'"`UNIQ-MathJax18-QINU`"' *Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation: :'"`UNIQ-MathJax19-QINU`"' *Wegen der letzten${\rm si}$-Funktion ist$X(f)=0$für alle Vielfachen von$F=1/\Delta t$. Die äquidistanten Nulldurchgänge des Cos-Rolloff-Impulses bleiben erhalten. *Aufgrund des Klammerausdrucks weist$X(f)$nun weitere Nulldurchgänge bei$f=\pm1.5 F$,$\pm2.5 F$,$\pm3.5 F$, ... auf. *Für die Frequenz$f=\pm F/2$erhält man die Spektralwerte$K\cdot \Delta t/2$. *Der asymptotische Abfall von$X(f)$verläuft in diesem Sonderfall mit$1/f^3$. =='"`UNIQ--h-10--QINU`"'Vorschlag für die Versuchsdurchführung== <br> „Rot” bezieht sich stets auf den ersten Parametersatz   ⇒$x_1(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_1(f)$und „Blau” den zweiten   ⇒$x_2(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\ X_2(f)$. <div class="bluebox"> '''(1)'''   Vergleichen Sie den '''roten Gauß–Tiefpass'''$(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$mit dem '''blauen Rechteck–Tiefpass'''$(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$⇒   Voreinstellung. und beantworten Sie folgende Fragen:<br> '''(a)'''   Welche Signale$y(t)$treten am Ausgang der Tiefpässe auf, wenn am Eingang das Signal$x(t) = 2 \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$mit$f_0 = 0.5$anliegt? '''(b)'''   Welche Unterschiede ergeben sich$f_0 = 0.5 \pm f_\varepsilon$mit$f_\varepsilon \ne 0, \ f_\varepsilon \to 0$bei beiden Tiefpässen? <div style="clear:both;"> </div> </div> '''(a)''' In beiden Fällen gilt$y(t) = A \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$mit$A = 2 \cdot H(f = f_0) \ \Rightarrow \ A_1 = 0.912, A_2 = 1.000$. Die Phase$\varphi_0$bleibt erhalten. '''(b)''' Beim Gauß–Tiefpass gilt weiterhin$ A_1 = 0.912$. Beim Rechteck–Tiefpass ist$A_2 = 0$für$f_0 = 0.5000\text{...}001$und$A_2 = 2$für$f_0 = 0.4999\text{...}999$. <div class="bluebox"> '''(2)'''   Lassen Sie die Einstellungen unverändert. Welcher Tiefpass kann das [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|erste Nyquistkriterium]] oder das [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Zweites_Nyquistkriterium|zweite Nyquistkriterium]] erfüllen, wenn$H(f)$den Gesamtfrequenzgang von Sender, Kanal und Empfangsfilter bezeichnet. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Um das erste Nyquistkriterium zu erfüllen, muss die Impulsantwort$h(t)$äquidistante Nulldurchgänge bei Vielfachen der (normierten) Zeit$t = 1, 2$, ... aufweisen. Die Impulsantwort$h(t) = {\rm si}(\pi f/\Delta f)$des Rechteck–Tiefpasses erfüllt dieses Kriterium mit$\Delta f = 1$. Dagegen ist beim Gauß–Tiefpass das erste Nyquistkriterium nie erfüllt und es kommt immer zu [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Impulsinterferenzen]]. *Das zweite Nyquistkriterium erfüllt der Rechteck–Tiefpass dagegen nicht.$h(t)$[[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer]]. Je größer die äquivalente Impulsdauer$\Delta t_2$ist, um so höher und schmäler ist die Spektralfunktion$X_2(f)$. *Da bei jeder Einstellung von$\Delta t_2$die Zeitsignalwerte bei$t=0$von$x_1(t)$und$x_2(t)$sind auch die Integrale über$X_1(f)$und$X_2(f)$identisch. <div class="bluebox"> '''(3)'''   Vergleichen Sie den '''roten Trapez–Tiefpass'''$(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1, r_1 = 0.5)$mit dem '''blauen Rechteck–Tiefpass'''$(K_1 = 1, \Delta f_1 = 1)$und variieren Sie anschließend$r_1$zwischen$0$und$1$. '''(a)'''   Welche Signale$y(t)$treten am Ausgang der Tiefpässe auf, wenn am Eingang das Signal$x(t) = 2 \cdot \cos (2\pi f_0 t -\varphi_0)$mit$f_0 = 0.5$anliegt? '''(b)'''   Welche Unterschiede ergeben sich$f_0 = 0.5 \pm f_\varepsilon$mit$f_\varepsilon \ne 0, \ f_\varepsilon \to 0$bei beiden Tiefpässen? <div style="clear:both;"> </div> </div> <div class="bluebox"> '''(3)'''   Vergleichen Sie den '''roten Rechteckimpuls'''$(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$mit dem '''blauen Rechteckimpuls'''$(A_2 = 1,\Delta t_2 = 0.5)$und variieren Sie anschließend$\Delta t_2$zwischen$0.05$und$2$. Interpretieren Sie die dargestellten Graphen und extrapolieren Sie das Ergebnis. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Mit$\Delta t_2 = 0.5$ist$X_2(f = 0) = X_1(f = 0) = 1$. Das blaue Spektrum ist aber nun doppelt so breit, das heißt, dass sie erste Nullstelle von$X_2(f)$erst bei$f =2$auftritt, während$X_1(f)$die$x$–Achse schon bei$f =1$schneidet. *Verkleinert man$\Delta t_2$immer mehr, so wird$X_2(f)$immer niedriger und breiter. Bei$\Delta t_2 = 0.05$ist$X_2(f = 0)= 0.1$und es ergibt sich ein sehr flacher Verlauf. Beispielsweise ist$X_2(f = \pm 3)= 0.096$. *Würde man$\Delta t_2 = \varepsilon$wählen (was bei dem Programm nicht möglich ist), so wäre im Grenzübergang$\varepsilon \to 0$das Spektrum$X_2(f)=2 \cdot \varepsilon$(für$A=2$) bzw.$X_2(f)=\varepsilon$(für$A=1$) nahezu konstant, aber sehr klein. *Erhöht man dafür die Amplitude auf$A=1/\varepsilon$, so ergibt sich die konstante Spektralfunktion$X_2(f) = 1$der [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktion]]$\delta(t)$(im Zeitbereich). *Das bedeutet, dass$\delta(t)$durch ein Rechteck der Breite$\Delta t = \varepsilon \to 0$und der Höhe$A = 1/\varepsilon \to \infty$approximiert werden kann. Die Impulsfläche ist dann Eins, was dem Gewicht der Diracfunktion entspricht:$x(t) = 1 \cdot \delta (t)$. <div class="bluebox"> '''(4)'''   Vergleichen Sie den '''roten Rechteckimpuls'''$(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1)$mit dem '''blauen Dreieckimpuls'''$(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$und interpretieren Sie deren Spektalfunktionen. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Das (normierte) Spektrum des Rechteckimpulses$x_1(t)$mit den (normierte) Parametern$A_1 = 1$und$\Delta t_1 = 1$lautet$X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$. * Faltet man den Rechteckimpuls$x_1(t)$mit sich selbst, so kommt man zum Dreieckimpuls$x_2(t) = x_1(t) \star x_1(t)$. Nach dem [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich|Faltungssatz]] gilt dann$X_2(f) = X_1(f) \cdot X_1(f) = X_1(f)^2 $. *Durch das Quadrieren der$\rm si$–förmigen Spektralfunktion$X_1(f)$bleiben die Nullstellen in$X_2(f)$erhalten. Es gilt aber nun$X_2(f) \ge 0$. <div class="bluebox"> '''(5)'''   Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls'''$(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$mit dem '''blauen Dreieckimpuls'''$(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1)$und und variieren Sie$r_1$zwischen$0$und$1$. Interpretieren Sie die Spektalfunktion$X_1(f)$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Der Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor$r= 0$ist identsisch mit dem Rechteckimpuls und das „normierte Spektrum” lautet:$X_1(f)= {\rm si}(\pi\cdot f)$. *Der Trapezimpuls mit dem Rolloff-Faktor$r= 1$ist identsisch mit dem Dreieckimpuls und das „normierte Spektrum” lautet:$X_1(f)= {\rm si}^2(\pi\cdot f)$. *In beiden Fällen besitzt$X_1(f)$äquidistante Nulldurchgänge bei$\pm 1$,$\pm 2$, ... Sonst gibt es keine Nulldurchgänge. Mit$0 < r_1 < 1$gibt es dagegen zusätzliche Nulldurchgänge, deren Lagen von$r_1$abhängen. <div class="bluebox"> '''(6)'''   Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls'''$(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 0.5)$mit dem '''blauen Cosinus-Rolloff-Impuls'''$(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 0.5)$und und variieren Sie$r_2$zwischen$0$und$1$. Interpretieren Sie die Spektalfunktion$X_2(f)$für$r_2 = 0.7$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Der Vergleich von Trapezimpuls$x_1(t)$und Cosinus-Rolloff-Impuls$x_2(t)$bei gleichem Rolloff-Faktor$r= 0.5$zeigt, dass$X_2(f)$für$f > 1$größere betragsmäßige Anteile besitzt als ist$X_1(f)$. *Bei gleichem Rolloff-Faktor$r_1 = r_2= 0.5$verläuft der Flankenabfall des Cosinus-Rolloff-Impulses$x_2(t)$um die Frequenz$f = 0.5$steiler als der Flankenabfall des Trapezimpulses$x_2(t)$. Mit$r_1 = 0.5$und$r_2 = 0.7$gilt$x_1(t) \approx x_2(t)$und damit auch$X_1(f) \approx X_2(f)$. <div class="bluebox"> '''(7)'''   Vergleichen Sie den '''roten Trapezimpuls'''$(A_1 = 1, \Delta t_1 = 1, r_1 = 1)$mit dem '''blauen Cosinus-Rolloff-Impuls'''$(A_2 = 1,\Delta t_2 = 1.0, r_1 = 1)$. Interpretieren Sie die Funktionen$x_1(t)$und$X_1(f)$. <div style="clear:both;"> </div> </div> *Es handelt sich bei$x_1(t) = \cos^2(|t|\cdot \pi/2) \ \ \text{für} \ |t| \le 1$um den [[Applets:Impulse_und_Spektren#Cosinus-Quadrat-Impuls|Cosinus-Quadrat-Impuls]]. *Wegen$\Delta t = 1$besitzt$X_1(f)$Nulldurchgänge bei$\pm 1$,$\pm 2$, ... *Weitere Nulldurchgänge gibt es bei$f=\pm 1.5$,$\pm 2.5$,$\pm 3.5$, ... , nicht jedoch bei$\pm 0.5$. *Für die Frequenz$f=\pm 0.5$erhält man die Spektralwerte$0.5$. *Der asymptotische Abfall von$X_1(f)$verläuft in diesem Sonderfall mit$1/f^3$.

Zur Handhabung des Programms

fehlt noch

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2005 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder und Klaus Eichin).
• 2017 wurde „Impulse & Spektren” von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen