Aufgaben:Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches P, welches m?: Unterschied zwischen den Versionen
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− | { | + | {Geben Sie die Parameter des hier betrachteten Galoisfeldes an. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $P \ = \ ${ 3 3% } |
+ | $m \ = \ ${ 2 3% } | ||
+ | $q \ = \ ${ 9 3% } | ||
− | { | + | {Wie lautet das neutrale Element für die Addition? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | + Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = „00”$, |
− | - | + | - Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = „01”$. |
− | { | + | {Wie lautet das neutrale Element für die Multiplikation? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | - Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = „00”$, |
− | + | + Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = „01”$. | |
− | { | + | {Welche Aussagen gelten hinsichtlich der additiven Inversen? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | + Es gilt ${\rm Inv_A} \, („02”) = „01”$, |
− | - | + | + Es gilt ${\rm Inv_A} \, („11”) = „22”$, |
+ | - Es gilt ${\rm Inv_A} \, („22”) = „00”$. | ||
− | { | + | {Welche der folgenden Aussagen treffen für die Multiplikation zu? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | - Die Multiplikation erfolgt modulo $p(\alpha) = \alpha^2 + 2$. |
− | + | + Die Multiplikation erfolgt modulo $p(\alpha) = \alpha^2 + 2\alpha + 2$. | |
− | { | + | {Welche Aussagen gelten hinsichtlich der multiplikativen Inversen? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | - Es gibt für alle Elemente $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ eine multiplikative Inverse. |
− | - | + | + Es gilt ${\rm Inv_M}(„12”) = „10”$. |
+ | - Es gilt ${\rm Inv_M}(„21”) = „12”$. | ||
− | { | + | {Gilt $(„20” + „12”) \cdot („12”) = „20” \cdot „12” + „12” \cdot „12”$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | + Ja, |
− | - | + | - Nein. |
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Version vom 15. Dezember 2017, 23:40 Uhr
Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen für Addition (gekennzeichnet mit „$+$”) und Multiplikation (gekennzeichnet mit „$\cdot$”) vorgegeben ist. Dieses Galoisfeld
- $${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.1cm} ... , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$$
erfüllt alle Anforderungen an einen endlichen Körper, die im Kapitel 2.1 aufgeführt sind. Kommutativ–, Assoziativ– und Distributivgesetz werden erfüllt. Weiterhin gibt es
- ein neutrales Element hinsichtlich Addition ⇒ $N_{\rm A}$:
- $$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i $$
- $$\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm A} = {\rm "0"} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)} \hspace{0.05cm},$$
- ein neutrales Element hinsichtlich Multiplikation ⇒ $N_{\rm M}$:
- $$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i $$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} \hspace{0.05cm},$$
- für alle Elemente $z_i$ eine additive Inverse ⇒ ${\rm Inv_A}(z_i)$:
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$
- $$z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"}\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}, $$
- für alle Elemente $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements eine multiplikative Inverse ⇒ ${\rm Inv_M}(z_i)$:
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A} \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$
- $$z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} \hspace{0.05cm}. $$
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Erweiterungskörper.
- In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \ ... \ , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. So steht zum Beispiel „$21$” für die ausführliche Schreibweise $2 \cdot \alpha + 1$.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
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(5)