Aufgaben:Aufgabe 4.6: Quantisierungskennlinien: Unterschied zwischen den Versionen
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- Bei der Realisierung zeigt die A–Kennlinie wesentliche Vorteile. | - Bei der Realisierung zeigt die A–Kennlinie wesentliche Vorteile. | ||
− | {Lässt sich allein aus $q_{\rm A} = 1 | + | {Lässt sich allein aus $q_{\rm A} = 1 ⇒ q_{\rm K} = 1$ der Parameter $A$ ableiten? |
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- Ja. | - Ja. |
Version vom 20. Juli 2017, 16:29 Uhr
Es wird die nichtlineare Quantisierung betrachtet und es gilt weiterhin das Systemmodell gemäß Aufgabe 4.5. Die Grafik zeigt zwei Kompressorkennlinien $q_{\rm K}(q_{\rm A})$:
- Rot eingezeichnet ist die sogenannte A–Kennlinie, die vom CCITT (Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique) für das Standardsystem PCM 30/32 empfohlen wurde. Für $0 ≤ q_{\rm A} ≤ 1$ gilt hier:
- $$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A})} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \\ \frac{A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A}} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\frac{1}{A} \le q_{\rm A} \le 1} \hspace{0.05cm}, \\ \\ {q_{\rm A} < \frac{1}{A}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
- Der blau–gestrichelte Kurvenzug gilt für die sog. 13–Segment–Kennlinie. Diese ergibt sich aus der A–Kennlinie durch stückweise Linearisierung; sie wird in der Aufgabe 4.5 ausführlich behandelt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Kompression und Expandierung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Für die durchgehend rot gezeichnete A-Kennlinie ist der Quantisierungsparameter $A = 100$ gewählt. Mit dem vom CCITT vorgeschlagenen Wert $A = 87.56$ ergibt sich näherungsweise der gleiche Verlauf.
- Für die beiden weiteren Kurven gilt $A = A_1$ (strich–punktierte Kurve) bzw. $A = A_2$ (punktierte Kurve), wobei für $A_1$ bzw. $A_2$ die beiden möglichen Zahlenwerte $50$ und $200$ vorgegeben sind. In der Teilaufgabe (3) sollen Sie entscheiden, welche Kurve zu welchem Zahlenwert gehört.
Fragebogen
Musterlösung
2. Der Kanalfrequenzgang $H_K(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_K(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen: $H_K(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/τ$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
$$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 =$$
$$ = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
Für $f = 0$ ist $|H_K(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/τ$ wiederholt sich dieser Wert.
3. Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß K = 1. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $τ_0 = 0$ gelten oder $τ_1 = 0$. Mit $τ_0 = 0$ erhält man für die Impulsantwort:
$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) +$$
$$ + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $τ_1 = τ$ gewählt werden. Mit $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$ erhält man dann $A_0 ≠ A_2$:
$$ h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) +0.48 \cdot \delta (t - \tau) + 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
Dagegen ergibt sich mit $h_0 = 0.6$, $h_1 = 0.4$, $τ_0 = τ$ und $τ_1 = 0$:
$$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) +$$
$$ + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)=$$
$$ = 0.24 \cdot \delta (t ) +0.52 \cdot \delta (t - \tau) + 0.24 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{0.05cm}.$$
Hier ist die Zusatzbedingung $A_0 = A_2$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
$$\underline{\tau_0 = \tau = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 =0} \hspace{0.05cm}.$$
4. Für den Normierungsfaktor muss gelten: $$ K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.923} \hspace{0.05cm}.$$ Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt 0.24/0.52 = 6/13): $$ h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
5. Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt:
$$r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$
$$b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1.00 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie die folgende Grafik zeigt. Die Überhöhung des Ausgangssignals ⇒ $b(t) > 1$ ist auf den Normierungsfaktor K = 25/13 zurückzuführen. Mit K = 1 wäre der Maximalwert von $b(t)$ tatsächlich 1.