Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung $(M = 1)$. | Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung $(M = 1)$. | ||
*Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. | *Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. | ||
− | *Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe '''(3)''' zu Null gesetzt werden soll. | + | *Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe '''(3)''' zu Null gesetzt werden soll. |
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− | *Bezug genommen wird auch auf die Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]]. | + | *Bezug genommen wird auch auf die Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] $\rm (AKF)$ sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]] $\rm (LDS)$. |
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− | {Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs–AKF zutreffend, wenn $K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse. | + | {Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs–AKF zutreffend, wenn $K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse. |
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- Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an. | - Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an. | ||
− | + Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit $k \ge 2$ sind Null. | + | + Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit $|k| \ge 2$ sind Null. |
+ Das Leistungsdichtespektrum (LDS) ${\it \Phi}_y(f)$ verläuft cosinusförmig. | + Das Leistungsdichtespektrum (LDS) ${\it \Phi}_y(f)$ verläuft cosinusförmig. | ||
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− | {Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF–Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$. | + | {Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF–Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$. |
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$a_0 \ = \ $ { 0.8 3% } | $a_0 \ = \ $ { 0.8 3% } | ||
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− | {Es gelte $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. Wie groß ist die Konstante $K$ zu wählen, damit sich $\varphi_y(0)= 0.5$ ergibt? | + | {Es gelte $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. Wie groß ist die Konstante $K$ zu wählen, damit sich $\varphi_y(0)= 0.5$ ergibt? |
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$K \ = \ $ { 0.5 3% } | $K \ = \ $ { 0.5 3% } | ||
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− | '''(1)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | + | '''(1)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: |
− | *Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$. | + | *Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$. |
− | *Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$ für $k \ge 2$. | + | *Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$ für $|k| \ge 2$. |
*Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$. | *Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$. | ||
− | *Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert. | + | *Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert. |
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− | '''(3)''' Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$. | + | '''(3)''' Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$. |
*Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$: | *Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$: | ||
:$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$ | :$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$ | ||
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− | '''(6)''' Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$. | + | '''(6)''' Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$. |
*Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden: | *Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden: | ||
:$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$ | :$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$ |
Aktuelle Version vom 11. Februar 2022, 16:46 Uhr
Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung $(M = 1)$.
- Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.
- Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll.
Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$
- sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
- besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Autokorrelationsfunktion $\rm (AKF)$ sowie Leistungsdichtespektrum $\rm (LDS)$.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$.
- Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$ für $|k| \ge 2$.
- Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$.
- Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert.
(2) Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, \ 1\}$:
- $$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$
- Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$:
- $$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$
(3) Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$.
- Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$:
- $$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$
(4) Die Konstante $K$ hebt die gesamte AKF um $K^2$ an. Mit dem Ergebnis aus (2) folgt:
- $$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
(5) Alle AKF–Werte sind nun um den konstanten Wert $K^2 = 0.25$ größer. Somit ist
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$
- $$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
(6) Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$.
- Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden:
- $$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
- Auch hiermit erhält man wiederum $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$.