Aufgaben:Aufgabe 5.7Z: Matched-Filter - alles gaußisch: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Am Eingang eines | + | Am Eingang eines Empfangsfilters liegt ein von weißem Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-4}\hspace{0.08cm} \rm V^2 \hspace{-0.1cm}/Hz$ überlagerter Gaußimpuls $g(t)$ mit der Amplitude $g_0$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_g = 1\hspace{0.08cm} \rm ms$ an: |
:$$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$ | :$$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$ | ||
− | Die Impulsenergie beträgt $E_g = 0.01\hspace{0. | + | *Die Impulsenergie beträgt $E_g = 0.01\hspace{0.08cm} \rm V^2 s$. Das Empfangsfilter sei ein akausaler Gaußtiefpass mit dem Frequenzgang |
:$$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$ | :$$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$ | ||
− | Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit: | + | *Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit: |
:$$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$ | :$$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$ | ||
− | Die systemtheoretische Filterbandbreite $\Delta f_{\rm E}$ soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls $g(t)$ angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter. | + | *Die systemtheoretische Filterbandbreite $\Delta f_{\rm E}$ soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls $g(t)$ angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter. |
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:$$\int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$ | :$$\int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$ | ||
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− | $10 | + | $10 \cdot \lg\ \rho_d(T_\text{D, opt}\hspace{-0.05cm}) \ = \ $ { 23 3% } $\ \rm dB$ |
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− | + Der Nutzabtastwert | + | + Der Nutzabtastwert $d_{\rm S}(T_\text{D, opt}\hspace{-0.05cm})$ ist kleiner als bei Anpassung. |
− | - Die Störleistung & | + | - Die Störleistung $\sigma_d^2$ ist größer als bei Anpassung. |
− | + Das S/N–Verhältnis ist kleiner als | + | + Das S/N–Verhältnis ist kleiner als in der Teilaufgabe '''(2)''' berechnet. |
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− | + | '''(1)''' Für die Energie eines Impulses $g(t)$ gilt allgemein bzw. bei diesem Beispiel: | |
− | :$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) | + | :$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2(t) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} = g^2_0 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} .$$ |
− | + | *Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden: | |
:$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2 \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$ | :$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2 \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$ | ||
− | + | *Mit $a = (2\pi)^{1/2}\cdot 1/\Delta t_g$ und der angegebenen Formel gilt folgender Zusammenhang: | |
:$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t_g .$$ | :$$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t_g .$$ | ||
− | + | *Löst man diese Gleichung nach $g_0$ auf, so erhält man als Endergebnis: | |
:$$g_0 = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g \cdot \sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$ | :$$g_0 = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g \cdot \sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$ | ||
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+ | '''(2)''' Unter der Voraussetzung eines Matched–Filters lautet das S/N-Verhältnis am Ausgang: | ||
:$$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$ | :$$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$ | ||
− | + | *In logarithmischer Darstellung erhält man folgendes Ergebnis: | |
:$$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$ | :$$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$ | ||
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+ | '''(3)''' Ein Vergleich zwischen dem Eingangsimpuls und dem Filterfrequenzgang zeigt, dass bei Anpassung $\Delta f_{\rm E} = 1/\Delta t_g$ gelten muss: | ||
:$$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$ | :$$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$ | ||
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+ | '''(4)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | ||
+ | *Eine kleinere Filterbandbreite ist günstig bezüglich Störungen, | ||
+ | *jedoch ungünstig hinsichtlich des Nutzsignals. | ||
+ | *Der negative Einfluss (kleineres Nutzsignal) überwiegt hier gegenüber dem positiven (weniger Störungen). | ||
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Aktuelle Version vom 21. Februar 2022, 16:02 Uhr
Am Eingang eines Empfangsfilters liegt ein von weißem Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-4}\hspace{0.08cm} \rm V^2 \hspace{-0.1cm}/Hz$ überlagerter Gaußimpuls $g(t)$ mit der Amplitude $g_0$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_g = 1\hspace{0.08cm} \rm ms$ an:
- $$g(t) = g_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } .$$
- Die Impulsenergie beträgt $E_g = 0.01\hspace{0.08cm} \rm V^2 s$. Das Empfangsfilter sei ein akausaler Gaußtiefpass mit dem Frequenzgang
- $$H_{\rm E} (f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {f/\Delta f_{\rm E} } \right)^2 } .$$
- Die dazugehörige Impulsantwort lautet somit:
- $$h_{\rm E} (t) = \Delta f_{\rm E} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta f_{\rm E} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} \right)^2 } .$$
- Die systemtheoretische Filterbandbreite $\Delta f_{\rm E}$ soll so gewählt werden, dass der Gaußtiefpass optimal an den Eingangsimpuls $g(t)$ angepasst ist. Man spricht dann von einem Matched-Filter.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Matched-Filter.
- Benutzen Sie zur Lösung das folgende bestimmte Integral:
- $$\int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - a^2 x^2 } {\rm{d}}x = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a}} .$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Für die Energie eines Impulses $g(t)$ gilt allgemein bzw. bei diesem Beispiel:
- $$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2(t) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} = g^2_0 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{e}}^{ - 2{\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_g } \right)^2 } \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} .$$
- Diese Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
- $$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \int_0^\infty {{\rm{e}}^{ - \left( {\sqrt {2 \rm{\pi }} /\Delta t_g } \right)^2 \cdot \hspace{0.05cm} t^2 }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}t} .$$
- Mit $a = (2\pi)^{1/2}\cdot 1/\Delta t_g$ und der angegebenen Formel gilt folgender Zusammenhang:
- $$E_g = 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{2a} = \sqrt 2 \cdot g_0 ^2 \cdot \Delta t_g .$$
- Löst man diese Gleichung nach $g_0$ auf, so erhält man als Endergebnis:
- $$g_0 = \sqrt {\frac{E_g }{\Delta t_g \cdot \sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{0.01\;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{0.001\;{\rm{s}} \cdot 1.414}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 2.659\;{\rm{V}}}.$$
(2) Unter der Voraussetzung eines Matched–Filters lautet das S/N-Verhältnis am Ausgang:
- $$\rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = \frac{2 \cdot E_g }{N_0 } = \frac{{2 \cdot 10^{ - 2} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{s}}}}{{10^{ - 4} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} {\rm{/Hz}}}} = 200.$$
- In logarithmischer Darstellung erhält man folgendes Ergebnis:
- $$10 \cdot \lg \rho _{d} ( {T_{{\rm{D,}}\,{\rm{opt}}} } ) = 10 \cdot \lg \left( {200} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 23\;{\rm{dB}}}.$$
(3) Ein Vergleich zwischen dem Eingangsimpuls und dem Filterfrequenzgang zeigt, dass bei Anpassung $\Delta f_{\rm E} = 1/\Delta t_g$ gelten muss:
- $$\Delta f_{{\rm{E,}}\,{\rm{opt}}} \hspace{0.15cm}\underline { = 1\;{\rm{kHz}}}.$$
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Eine kleinere Filterbandbreite ist günstig bezüglich Störungen,
- jedoch ungünstig hinsichtlich des Nutzsignals.
- Der negative Einfluss (kleineres Nutzsignal) überwiegt hier gegenüber dem positiven (weniger Störungen).