Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung $(M = 1)$. | |
+ | *Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. | ||
+ | *Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe '''(3)''' zu Null gesetzt werden soll. | ||
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+ | * besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$. | ||
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+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften|Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird auch auf die Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] $\rm (AKF)$ sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]] $\rm (LDS)$. | ||
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− | {Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs | + | {Welche Aussagen sind bezüglich der Ausgangs–AKF zutreffend, wenn $K = 0$ gilt? Begründen Sie Ihre Ergebnisse. |
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− | - Der AKF-Wert | + | - Der AKF-Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Streuung $\sigma_y$ an. |
− | + Alle AKF-Werte | + | + Alle AKF-Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ mit $|k| \ge 2$ sind Null. |
− | + Das LDS | + | + Das Leistungsdichtespektrum (LDS) ${\it \Phi}_y(f)$ verläuft cosinusförmig. |
− | {Berechnen Sie die AKF | + | {Berechnen Sie die AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$ für $k = 0$ und $k = 1$. |
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− | $\ | + | $\varphi_y(0) \ = \ $ { 0.25 3% } |
− | $\ | + | $\varphi_y(T_{\rm A}) \ = $ { 0.12 3% } |
− | {Welche Werte muss man für | + | {Welche Werte muss man für $a_0$ und $a_1$ einstellen, wenn bei gleicher AKF–Form die Streuung $\sigma_y = 1$ betragen soll? Es sei $a_0 > a_1$. |
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− | $a_0$ | + | $a_0 \ = \ $ { 0.8 3% } |
− | $a_1$ | + | $a_1 \ = \ $ { 0.6 3% } |
− | {Es gelte | + | {Es gelte $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$. Wie groß ist die Konstante $K$ zu wählen, damit sich $\varphi_y(0)= 0.5$ ergibt? |
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− | $K$ | + | $K \ = \ $ { 0.5 3% } |
− | {Berechnen Sie mit diesem Wert | + | {Berechnen Sie mit diesem $K$–Wert die AKF–Werte für $k = 1$ und $k = 2$. |
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− | $\ | + | $\varphi_y(T_{\rm A}) \ = \ $ { 0.37 3% } |
− | $\ | + | $\varphi_y(2 \cdot T_{\rm A}) \ = \ $ { 0.25 3% } |
− | {Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung | + | {Welcher Wert ergibt sich nun für die Streuung $\sigma_y$? |
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− | $\sigma_y$ | + | $\sigma_y \ = \ $ { 0.5 3% } |
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− | + | '''(1)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | |
+ | *Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$. | ||
+ | *Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$ für $|k| \ge 2$. | ||
+ | *Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$. | ||
+ | *Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert. | ||
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+ | '''(2)''' Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, \ 1\}$: | ||
:$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$ | :$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$ | ||
− | + | *Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$: | |
:$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$ | :$$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$ | ||
:$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$ | :$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$ | ||
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+ | '''(3)''' Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$. | ||
+ | *Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$: | ||
:$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$ | :$$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$ | ||
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+ | '''(4)''' Die Konstante $K$ hebt die gesamte AKF um $K^2$ an. Mit dem Ergebnis aus '''(2)''' folgt: | ||
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+ | '''(5)''' Alle AKF–Werte sind nun um den konstanten Wert $K^2 = 0.25$ größer. Somit ist | ||
+ | :$$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$ | ||
+ | :$$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$ | ||
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+ | '''(6)''' Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$. | ||
+ | *Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden: | ||
:$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$ | :$$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$ | ||
− | + | *Auch hiermit erhält man wiederum $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$. | |
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Aktuelle Version vom 11. Februar 2022, 16:46 Uhr
Wir betrachten hier ein nichtrekursives Filter erster Ordnung $(M = 1)$.
- Die Filterkoeffizienten seien $a_0 = 0.4$ und $a_1 = 0.3$.
- Am Filterausgang wird eine Konstante $K$ hinzuaddiert, die bis einschließlich Teilaufgabe (3) zu Null gesetzt werden soll.
Die einzelnen Elemente der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$
- sind gaußisch sowie mittelwertfrei, und
- besitzen jeweils die Streuung $\sigma_x = 1$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften.
- Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Autokorrelationsfunktion $\rm (AKF)$ sowie Leistungsdichtespektrum $\rm (LDS)$.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Der AKF–Wert $\varphi_y(0)$ gibt die Varianz (Leistung) $\sigma_y^2$ an und nicht die Streuung (den Effektivwert) $\sigma_y$.
- Da ein nichtrekursives Filter erster Ordnung vorliegt, sind alle AKF–Werte $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})= 0$ für $|k| \ge 2$.
- Der AKF–Wert $\varphi_y(- T_{\rm A})$ ist gleich $\varphi_y(+ T_{\rm A})$.
- Diese beiden AKF-Werte führen zu einer Cosinusfunktion im Leistungsdichtespektrum, zu der sich noch der Gleichanteil $\varphi_y(0)$ hinzuaddiert.
(2) Die allgemeine Gleichung lautet mit $M = 1$ für $k \in \{0, \ 1\}$:
- $$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k} } .$$
- Daraus erhält man mit $\sigma_x = 1$:
- $$\varphi _y( 0 ) = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.4^2 + 0.3^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25},$$
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = a_0 \cdot a_1 = 0.4 \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12}.$$
(3) Mit den bisherigen Einstellungen ist die Varianz $\sigma_y^2 = 0.25$ und damit die Streuung $\sigma_y = 0.5$.
- Durch eine Verdoppelung der Koeffizienten erhält man wie gewünscht $\sigma_y = 1$:
- $$\hspace{0.15cm}\underline {a_0 = 0.8},\quad \hspace{0.15cm}\underline {a_1 = 0.6}.$$
(4) Die Konstante $K$ hebt die gesamte AKF um $K^2$ an. Mit dem Ergebnis aus (2) folgt:
- $$K^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm}\underline {K = 0.5}.$$
(5) Alle AKF–Werte sind nun um den konstanten Wert $K^2 = 0.25$ größer. Somit ist
- $$\varphi _y ( { T_{\rm A} } ) = 0.12 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.37},$$
- $$\varphi _y ( { 2T_{\rm A} } ) = 0 + 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}.$$
(6) Durch die Konstante $K$ wird die Streuung nicht verändert, das heißt, es gilt weiterhin $\sigma_y = 0.5$.
- Formal kann diese Größe auch wie folgt berechnet werden:
- $$\sigma _y ^2 = \varphi _y ( 0 ) - \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = 0.5 - 0.25 = 0.25.$$
- Auch hiermit erhält man wiederum $\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}$.