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Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine gaußverteilte Zufallsgröße x mit Varianz σ² einen vorgegebenen Wert x₀ überschreitet. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt:

Hierbei bezeichnet Q(x) = 1 − ϕ(x) die Komplementärfunktion zu ϕ(x); man nennt diese Funktion das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral und es gilt folgende Berechnungsvorschrift:

Auch dieses Integral kann analytisch nicht gelöst werden und muss aus Tabellen entnommen werden. In Bibliotheken findet man häufiger die Funktion „erfc(x)”, die mit Q(x) in einfachem Zusammenhang steht:

Speziell für größere Werte von x – also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten – liefern die nachfolgend angegebenen Schranken eine brauchbare Abschätzung für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral. Q_o(x) bezeichnet hierbei eine obere und Q_u(x) eine untere Schranke:

Das nachfolgende Bild zeigt die Q-Funktion in logarithmischer Darstellung für lineare (obere Achse) und logarithmische Abszissenwerte (untere Achse). Die obere Schranke (rote Kreise) ist ab ca. x = 1 brauchbar, die untere Schranke (grüne Rauten) ab etwa x = 2. Für x-Werte ≥ 4 sind beide Schranken innerhalb der Zeichengenauigkeit vom tatsächlichen Funktionsverlauf nicht mehr zu unterscheiden.

Überschreitungswahrscheinlichkeit