KolmogoroffundWienerhaben dieses Optimierungsproblem nahezu zur gleichen Zeit unabhängig voneinander gelöst. Die Übertragungsfunktion des optimalen Filters kann über die Wiener-Hopfsche Integralgleichung ermittelt werden, und lautet:
Der Index „WF” steht für Wiener-Filter und lässt leider die Verdienste von Kolmogoroff nicht erkennen. Auf die exakte, mathematische Ableitung der Gleichung wird hier verzichtet. Vielmehr soll diese im Folgenden an einigen Sonderfällen verdeutlicht und interpretiert werden.
Sind Signal und Störung unkorreliert (das heißt, es gilt Φsn(f) = Φns(f) = 0), so vereinfacht sich obige Gleichung wie folgt:
Das Wiener-Filter wirkt somit wie ein frequenzabhängiger Teiler, wobei das Teilerverhältnis durch die Leistungsdichtespektren von Nutzsignal und Störsignal bestimmt wird.
Der „Durchlassbereich” liegt vorwiegend bei den Frequenzen, bei denen das Nutzsignal sehr viel größere Anteile besitzt als die Störung: Φs(f) >> Φn(f).
Der mittlere quadratische Fehler zwischen Ausgangssignal d(t) und dem zu approximierenden Eingangssignal s(t) ist
Die Ableitung dieser Ergebnisse ist durchaus nicht trivial und z. B. in[Hän97]zu finden.
