Für die Berechnung der Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgrößex aus deren WDF muss stets von einer etwas allgemeineren Gleichung ausgegangen werden. Hier gilt mit ε > 0:
Die Berechnung der Verteilungsfunktion durch Grenzwertbildung ist aufgrund des "≤"-Zeichens in der Definitionsgleichung erforderlich. Berücksichtigt man weiterhin, dass bei einer diskreten Zufallsgröße die WDF aus einer Summe von gewichtetenDiracfunktionenbesteht, so erhält man:
Vertauscht man in dieser Gleichung Integration und Summation, und berücksichtigt man weiterhin, dass die Integration über die Diracfunktion die Sprungfunktion ergibt, so erhält man:
Hierzu ist zu bemerken:
Die Funktion γ0(x) unterscheidet sich von der in der Systemtheorie sonst üblichen Sprungfunktion γ(x) dadurch, dass an der Sprungstelle x = 0 der rechtsseitige Grenzwert Eins gültig ist (anstelle des Mittelwertes 1/2 zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert).
Mit obiger VTF-Definition gilt dann für die Wahrscheinlichkeit von kontinuierlichen und diskreten Zufallsgrößen sowie von gemischten Zufallsgrößen mit diskreten und kontinuierlichen Anteilen gleichermaßen:
Bei rein kontinuierlichen Zufallsgrößen können in dieser Gleichung das „Kleiner”-Zeichen und das „Kleiner / Gleich” – Zeichen gegenseitig ersetzt werden.
