Buch: Stochastische Signaltheorie
Abschnitt: 4.5 Leistungsdichtespektrum (LDS)
Kapitel: 4 Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
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Numerische LDS-Ermittlung
Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die Fouriertransformation streng miteinander verknüpft. Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung, also für
Der Übergang vom Zeit- in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:
  • Der Abstand TA zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite Bx (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses) über das Abtasttheorem festgelegt:
  • Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ergibt ein mit 1/TA periodisches LDS:
  • Da sowohl φx(τ) als auch Φx(f) gerade und reelle Funktionen sind, gilt folgender Zusammenhang:
  • Das LDS des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus P{Φx(f)} durch Bandbegrenzung auf den Frequenzbereich |f| ≤ 1/(2TA).
  • Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der si-Funktion, wobei si(x) für sin(x)/x steht.
Beispiel: Eine gaußförmige AKF φx(τ) wird im Abstand TA abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist. Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF A{φx(τ)} wird mit P{Φx(f)} bezeichnet. Dieses ist periodisch mit 1/TA und dementsprechend unendlich weit ausgedehnt. Im nachfolgenden Bild beinhaltet P{Φx(f)} sowohl die rot als auch blau dargestellten Funktionsverläufe.

Das LDS Φx(f) des zeitkontinuierlichen Prozesses {x(t)} erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau eingezeichneten Frequenzbereich |f · TA| ≤ 0.5.
 
 
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