Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße sind die Wahrscheinlichkeiten, dass diese ganz bestimmte Werte annimmt, identisch 0. Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion – abgekürzt WDF – übergegangen werden.
Definition: Der Wert der WDF fx(x) an der Stelle xµ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Momentanwert der Zufallsgröße x in einem (unendlich kleinen) Intervall der Breite Δx um xµ liegt, dividiert durch Δx:
Diese für stochastische Signale äußerst wichtige Beschreibungsgröße weist folgende Eigenschaften auf:
Obwohl aus dem beispielhaften Zeitverlauf auf der letzten Seite zu ersehen ist, dass die häufigsten Anteile bei x = m1 liegen und die WDF hier ihren größten Wert besitzt, ist die Wahrscheinlichkeit Pr(x = m1), dass der Momentanwert exakt gleich dem Mittelwert m1 ist, identisch 0.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße im Bereich zwischen xu und xo liegt, gilt:
Als wichtige Normierungseigenschaft ergibt sich daraus für die Fläche unter der Dichtefunktion mit den Grenzübergängen xu → –∞ und xo → +∞:
Die entsprechende Gleichung für diskrete, M-stufige Zufallsgrößen sagt aus, dass die Summe über die M Auftrittswahrscheinlichkeiten den Wert 1 ergibt.
Zur Vertiefung der hier behandelten Thematik empfehlen wir das folgende Lehrvideo:
