Betrachten wir nun die beiden Varianzen. Für die Zufallsgröße x gilt:
Die Erwartungswerte von u2 und υ2 sind definitionsgemäß jeweils gleich σ2. Da u und υ als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden, kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben:
Damit erhält man für die beiden Varianzen der durch Linearkombinationen gebildeten Zufallsgrößen:
Die Kovarianz μxy ist bei mittelwertfreien Größen x, y identisch mit dem gemeinsamen Moment mxy:
Beachten Sie hierbei, dass E[ ] den Erwartungswert bezeichnet, während E eine Variable beschreibt. Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:
Schließen wir die Sonderfälle A = B = 0 (d. h. x ≡ 0) sowie D = E = 0 (d. h. y ≡ 0) aus, so liefert diese Gleichung stets eindeutige Werte für den Korrelationskoeffizienten im Bereich –1 ≤ ρxy ≤ +1.
Beispiel: Setzen wir beispielsweise A = E = 0, so ergibt sich der Korrelationskoeffizient ρxy = 0. Dieses Ergebnis ist einsichtig: Nun hängt x nur noch von υ und y ausschließlich von u ab. Da aber u und υ als statistisch unabhängig angenommen wurden, bestehen keine Beziehungen zwischen x und y.
Die Konstellation B = E = 0 führt dazu, dass sowohl x als auch y nur noch von u abhängen. In diesem Fall ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
Besitzen A und D gleiches Vorzeichen, so ist ρxy = 1. Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient –1.
