Ein weiterer Sonderfall eines Erwartungswertes ist die charakteristische Funktion, wobei hier für die Bewertungsfunktion g(x) = exp(jΩx) zu setzen ist:
Ein Vergleich mit dem Buch
Signaldarstellung – Kapitel 3.1
zeigt, dass die charakteristische Funktion die Fourierrücktransformierte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion darstellt:
Ist die Zufallsgröße x dimensionslos, so ist auch das Argument Ω der charakteristischen Funktion ohne Einheit. Das Symbol Ω wurde gewählt, da das Argument hier einen gewissen Bezug zur Kreisfrequenz beim zweiten Fourierintegral aufweist (gegenüber der Darstellung im f-Bereich fehlt der Faktor 2π im Exponenten). Es wird aber nochmals eindringlich darauf hingewiesen, dass – wenn man einen Bezug zur Systemtheorie herstellen will – Cx(Ω) der „Zeitfunktion” und fx(x) der „Spektralfunktion” entspricht.
Entwickelt man exp(jΩx) in eine Potenzreihe und vertauscht Summation und Erwartungswertbildung, so folgt die Reihendarstellung der charakteristischen Funktion:
In späteren Kapitel wird auf die Bedeutung der charakteristischen Funktion noch häufiger eingegangen.
