Definiert man den Momentanwert aller Musterfunktionen xi(t) zu einem festen Zeitpunkt t = t1 als eine neue Zufallsgröße x1 = {xi(t1)}, so lassen sich deren statistische Eigenschaften nach den Aussagen vonKapitel 2undKapitel 3 beschreiben. In gleicher Weise erhalten wir für den Betrachtungszeitpunkt t = t2 die Zufallsgröße x2 = {xi(t2)}.
Hinweis: Beachten Sie bitte, dass x1(t) und x2(t) Musterfunktionen des Zufallsprozesses {xi(t)} sind, während die Zufallsgrößen x1 und x2 den Prozess zu den Zeiten t1 und t2 charakterisieren.
Die Berechnung der statistischen Kenngrößen muss dabei durch Scharmittelung über alle möglichen Musterfunktionen erfolgen (Mittelung über die Laufvariable i, das heißt über alle Realisierungen).
Definition: Bei einem stationären Zufallsprozess {xi(t)} stimmen alle statistischen Kenngrößen der Zufallsgrößen x1 und x2 überein. Auch zu jedem anderen Zeitpunkt ergeben sich genau gleiche Werte.
Die Umkehrung dieser Definition kann wie folgt ausgedrückt werden: Weist ein Zufallsprozess {xi(t)} zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche statistische Eigenschaften (Auftrittswahrscheinlichkeiten, Mittelwert, Streuung, Momente höherer Ordnung etc.) auf, so bezeichnet man diesen als nichtstationär.
Beispiel: Eine große Anzahl von Mess-Stationen, alle direkt am Äquator gelegen, ermitteln täglich um 12 Uhr Ortszeit die Temperatur. Mittelt man über all diese Messwerte, so kann der Einfluss lokaler Indikatoren (z. B. Golfstrom) eliminiert werden. Trägt man die so gemittelten Werte (Scharmittelung) über der Zeit auf, so wird sich näherungsweise eine Konstante ergeben, das heißt, hier kann man von einem stationären Prozess sprechen.
Eine vergleichbare Messreihe am 50. Breitengrad würde aufgrund der jahreszeitlichen Schwankungen auf einen nichtstationären Prozess hinweisen mit deutlichen Unterschieden hinsichtlich Mittelwert und Varianz der Temperatur zwischen Januar und Juli.
