Die Poissonverteilung ist ein Grenzfall der Binomialverteilung, wobei
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zum einen von den Grenzübergängen I → ∞ und p → 0 ausgegangen wird,
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zusätzlich vorausgesetzt ist, dass das Produkt I · p = λ einen endlichen Wert besitzt, der die mittlere Anzahl der „Einsen” in einer festgelegten Zeiteinheit angibt und als Rate bezeichnet wird.
Im Gegensatz zur Binomialverteilung (0 ≤ μ ≤ I) kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, positive) Werte annehmen, was bedeutet, dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist. Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können, spricht man auch hier von einer diskreten Verteilung.
Berücksichtigt man die oben genannten Grenzübergänge in der Gleichung für die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung, so folgt für die Auftrittswahrscheinlichkeiten der poissonverteilten Zufallsgröße z:
Daraus erhält man nach einigen algebraischen Umformungen:
