Gegeben seien Ereignisse Ai mit 1 ≤ i ≤ I, die ein vollständiges System bilden. Das heißt: Alle Ereignisse sind paarweise disjunkt (Ai ∩ Aj = ϕ für alle i ≠ j) und die Vereinigungsmenge ergibt die Grundmenge:
Daneben betrachten wir noch das Ereignis B, von dem alle bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(B | Ai) mit den Indizes 1 ≤ i ≤ I bekannt sind. Dann gilt für die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B gemäß dem so genannten Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
Aus dieser Gleichung folgt mit dem Satz vonBayesfür die Rückschlusswahrscheinlichkeit:
Beispiel: In Münchner Studentenheimen wohnen Studierende der LMU (Ereignis L; 70%) und der TUM (Ereignis T; 30%). Es ist weiterhin bekannt, dass an der LMU 60% aller Studierenden weiblich sind, an der TUM nur 10%. Der Anteil aller Studentinnen (Ereignis W) kann dann mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ermittelt werden:
Trifft man eine Studentin, so kann man mit der Rückschlusswahrscheinlichkeit
vorhersagen, dass sie an der LMU studieren wird. Ein durchaus realistisches Ergebnis.
Die Aussagen dieses Abschnitts sind im nachfolgenden Lehrvideo zusammengefasst:
