Der Zusammenhang Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge gilt nur für den Sonderfall disjunkter Mengen A und B. Wie errechnet sich diese Wahrscheinlichkeit aber bei allgemeinen, nicht notwendigerweise disjunkten Ereignissen?
Betrachten Sie hierzu das folgende Venndiagramm mit der violett dargestellten Schnittmenge A ∩ B. Die rote Menge beinhaltet alle Elemente, die zu A gehören, aber nicht zu B. Die Elemente von B, die nicht gleichzeitig in A enthalten sind, erkennt man an der blauen Farbe. Alle roten, blauen und violetten Flächen zusammen ergeben die Vereinigungsmenge A ∪ B.
Aus dieser mengentheoretischen Darstellung erkennt man folgende Zusammenhänge:
Addiert man die ersten beiden Gleichungen und subtrahiert davon die dritte, so erhält man:
Durch Umstellen dieser Gleichung kommt man zu der Darstellung, die allgemein als Additionstheorem für zwei beliebige, nicht disjunkte Ereignisse bekannt ist:
Beispiel: Betrachten wir wieder die beiden Mengen A = „die Augenzahl ist ungeradzahlig” = {1, 3, 5} und B = „die Augenzahl ist größer 2” = {3, 4, 5, 6}. Damit sind die Wahrscheinlichkeiten Pr(A) = 1/2, Pr(B) = 2/3 sowie Pr(A ∪ B) = 5/6 und Pr(A ∩ B) = 1/3. Anhand dieser Zahlenwerte lässt sich die Gültigkeit des Additionstheorems sehr einfach zeigen: 5/6 = 1/2 + 2/3 − 1/3.
