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Abschnitt: 3.6 Exponentialverteilte Zufallsgrößen

Kapitel:

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Einseitige Exponentialverteilung

Definition: Eine kontinuierliche Zufallsgröße x bezeichnet man als (negativ-)exponentialverteilt, wenn sie nur nicht-negative Werte annehmen kann und die WDF für x > 0 folgenden Verlauf hat:

Das nachfolgende Bild zeigt links die WDF einer exponentialverteilten Zufallsgröße x. Definitionsgemäß gilt f_x(0) = λ/2. Je größer der Verteilungsparameter λ ist, um so steiler erfolgt der Abfall.

Für die Verteilungsfunktion erhält man für r > 0 durch Integration über die WDF (siehe rechtes Bild):

Die Momente der Exponentialverteilung sind allgemein gleich m_k = k!/λ^k. Daraus und aus dem Satz von Steiner erhält man für den Mittelwert und die Streuung:

Beispiel: Die Exponentialverteilung hat z. B. große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen, wobei in diesem Zusammenhang auch der Begriff Lebensdauerverteilung üblich ist. Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit t, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht. Weiter ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der Poissonverteilung zusammenhängt.

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