Bisher haben wir gezeigt, wie man für ein aperiodisches Signal x(t) die zugehörige Spektralfunktion X(f) berechnet. Nun wenden wir uns der genau umgekehrten Aufgabe zu, aus der Spektralfunktion X(f) die Zeitfunktion x(t) zu ermitteln.
Mit den gleichen Bezeichnungen wie auf den ersten Seiten dieses Kapitels kann man x(t) als Fourierreihe schreiben, wobei nun der Grenzübergang f0' → 0 zu berücksichtigen ist:
Erweitert man nun sowohl den Zähler als auch den Nenner um f0', so erhält man:
Der Grenzübergang f0' → 0 hat nun folgende Auswirkungen:
-
Die (unendliche) Summe wird zu einem Integral, wobei f0' formal durch die differenzielle Größe df (Integrationsvariable) zu ersetzen ist.
-
Die Größe ν · f0' im Exponenten beschreibt die physikalische Frequenz f.
-
Der Quotient Dν'/f0' ergibt die Spektralfunktion X(f) bei der Frequenz f.
Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften kommt man zum zweiten Fourierintegral.
