Nicht jedes Signal eignet sich für die Fourierreihendarstellung. Hier einige Einschränkungen:
Eine wichtige Voraussetzung für die Konvergenz der Fourierreihe ist, dass das Signal nur endlich viele Unstetigkeitsstellen je Periode besitzen darf.
An denjenigen Stellen t = ti, an denen x(t) endliche Sprünge aufweist, konvergiert die Reihe gegen den aus dem jeweiligen links- und rechtsseitigen Grenzwert gebildeten arithmetischen Mittelwert.
In der Umgebung solcher Sprungstellen kommt es meist zu hochfrequenten Oszillationen in der Reihendarstellung. Dieser Fehler ist von prinzipieller Art, das heißt, er ließe sich auch nicht vermeiden, wenn tatsächlich unendlich viele Summanden berücksichtigt würden. Man bezeichnet diesen Fehler als das Gibbsche Phänomen, benannt nach dem Physiker
Durch eine Erhöhung von N wird zwar der fehlerhafte Bereich kleiner, nicht jedoch die maximale Abweichung zwischen dem tatsächlichen Signal x(t) und der Fourierreihendarstellung xN(t). Der maximale Fehler beträgt ca. 9% der Sprungamplitude – und zwar unabhängig von N.
Das Gibbsche Phänomen und weitere interessante Aspekte werden im folgenden Lehrvideo behandelt:
