Einige Erkenntnisse über die Fourierkoeffizienten lassen sich bereits aus den Symmetrieeigenschaften der Zeitfunktion x(t) ablesen.
Ist die Funktion x(t) gerade, also achsensymmetrisch um die Ordinate (t = 0), so verschwinden alle Sinuskoeffizienten, da die Sinusfunktion selbst eine ungerade Funktion ist:
Eine ungerade Funktion x(t) ist punktsymmetrisch um den Koordinatenursprung (t = 0; x = 0). Deshalb müssen alle Cosinuskoeffizienten verschwinden (An = 0), da die Cosinusfunktion selbst gerade ist. In diesem Fall ist auch der Gleichanteil A0 stets 0.
Liegt eine Funktion ohne Gleichanteil vor (A0 = 0) und ist diese innerhalb einer Periode ungerade, das heißt, ist die Bedingung x(t) = –x(t – T0/2) erfüllt, so sind in der Fourierreihendarstellung nur ungerade Vielfache der Grundfrequenz vorhanden. Für die Koeffizienten mit geradzahligem Index gilt dagegen stets:
Sind alle Koeffizienten An und Bn mit geradzahligem Index (n = 2, 4, ...) gleich 0 und der Koeffizient A0 ≠ 0, so bezieht sich die im letzten Punkt genannte Symmetrieeigenschaft auf den Gleichsignalanteil, und es gilt:
Anzumerken bleibt, dass auch mehrere dieser Symmetrieeigenschaften gleichzeitig erfüllt sein können.
Die Symmetrieeigenschaften der Fourierkoeffizienten werden im ersten Teil des nachfolgenden Videos zusammenfassend dargestellt:
