Zur Herleitung der Spektralfunktion beschränken wir uns zunächst auf ein Cosinussignal, das mit der komplexen Exponentialfunktion und dem Satz vonEulerauch wie folgt geschrieben werden kann:
Bereits aus dieser Zeitbereichsdarstellung ist ersichtlich, dass das Cosinussignal – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz f0.
Zur mathematischen Herleitung der Spektralfunktion benutzen wir folgende Beziehungen:
Verschiebungssatz(für den Frequenzbereich) im Vorgriff auf das Kapitel 3.3:
Daraus ergibt sich die folgende Fourierkorrespondenz:
Diese Gleichung bedeutet: Die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Frequenz f0 setzt sich aus zwei Diracfunktionen bei ±f0 zusammen. Die Impulsgewichte beider Diracfunktionen sind jeweils gleich der halben Signalamplitude.
Beispiel: Das Bild zeigt die Spektralfunktion einer Cosinusschwingung mit der Amplitude A = 4 V und der Frequenz f0 = 5 kHz. Die Periodendauer beträgt demnach T0 = 200 μs. Die Diracfunktion bei der Frequenz –f0 gehört dabei zum ersten Term obiger Gleichung (aus der Bedingung f + f0 = 0 ableitbar), diejenige bei +f0 zum zweiten Term δ(f – f0). Die Impulsgewichte sind jeweils 2 V.
Es soll darauf hingewiesen werden, dass die Spektralfunktion einer jeden reellen Zeitfunktion mit Ausnahme des Gleichsignals sowohl Anteile bei positiven als auch bei negativen Frequenzen aufweist. Diese Tatsache, die Studienanfängern oft Probleme bereitet, ergibt sich ganz formal aus dem Satz von Euler (siehe oben). Durch die Erweiterung des Wertebereichs der Frequenz von f ≥ 0 auf die Menge der reellen Zahlen kommt man von der physikalischen zur mathematischen Frequenz. Allerdings ist für eine negative Frequenz die vorne angegebeneDefinitionnicht mehr anwendbar: –5 kHz kann nicht als „minus 5000 Schwingungen pro Sekunde” interpretiert werden.
Im weiteren Verlauf dieses Kurses werden Sie feststellen, dass durch die (scheinbare) Verkomplizierung des einfachen Sachverhaltes später kompliziertere Sachverhalte sehr elegant und einfach beschrieben werden können.
