Zur mathematischen Herleitung obiger Eigenschaften gehen wir von einem dimensionslosen Gleichsignal aus. Um die Konvergenz des Fourierintegrals zu erzwingen, wird das nicht energiebegrenzte Signal x(t) mit einer beidseitig abfallenden Exponentialfunktion multipliziert. Die Grafik zeigt das Signal x(t) = 1 und das energiebegrenzte Signal
Hierbei gelte ε > 0. Im Grenzübergang ε → 0 geht xε(t) in x(t) = 1 über.
Zur Spektraldarstellung kommt man durch die Anwendung des
vorne angegebenen Fourierintegrals:
Durch Integration und Zusammenfassen beider Terme erhalten wir die rein reelle Spektralfunktion des energiebegrenzten Signals xε(t) :
Die Fläche unter der Kurve ist unabhängig vom Parameter ε gleich 1. Je kleiner ε gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das nachfolgende Lehrvideo zeigt.
