Systemtheoretische Beschreibung der Fensterung (1)
Das Zustandekommen solcher unerwünschter Seitenkeulen soll nun anhand der nachfolgenden Grafik systemtheoretisch erklärt werden.
Betrachten Sie zunächst die obere Grafik (a) für das Rechteckfenster.
Die in der DFT implizit enthaltene Zeitbegrenzung entspricht der Multiplikation des Zeitsignals x(t) mit einer rechteckförmigen Fensterfunktion w(t) der Höhe 1 und der Dauer TP. Das linke obere Bild zeigt die zeitdiskrete Darstellung w(ν) dieser Rechteckfunktion (ν = t/TA):
Aus der Multiplikation y(t) = x(t) · w(t) im Zeitbereich folgt für das Spektrum Y(f) = X(f) ∗ W(f), wobei bei rechteckförmiger Fensterfunktion mit fA = 1/TP gilt:
Diese Funktion ist in der rechten oberen Grafik in logarithmierter Form dargestellt.
Liegen alle Spektralanteile des zu analysierenden Signals x(t) exakt im Frequenzraster μ · fA, so werden die frequenzdiskreten Spektralwerte D(μ) durch die Faltung mit W(f) nicht verfälscht. Andernfalls führt die Faltung mit W(f) zu nicht verschwindenden Produkten, da die Nullstellen der si–Funktion nun nicht mehr auf den diskreten Werten des Eingangsspektrums zu liegen kommen.
