Buch: Signaldarstellung
Abschnitt: 5.2 Diskrete Fouriertransformation (DFT)
Kapitel: 5 Zeit- und frequenzdiskrete Signaldarstellung
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Finite Signale
Zur finiten Signaldarstellung kommt man, wenn sowohl die Zeitfunktion x(t) wie auch das Spektrum X(f) ausschließlich durch ihre Abtastwerte angegeben werden.

Diese Grafik ist wie folgt zu interpretieren:
  • Im linken Bild blau eingezeichnet ist die Funktion A{P{x(t)}}. Diese ergibt sich durch Abtastung der periodifizierten Zeitfunktion P{x(t)} mit äquidistanten Diracimpulsen im Abstand TA = 1/fP.
  • Das im rechten Bild grün eingezeichnete finite Signal P{A{X(f)}} ergibt sich durch Periodifizierung (mit fP) der abgetasteten Spektralfunktion. Es gilt folgende Fourierkorrespondenz:
  • Die Diraclinien der periodischen Fortsetzung P{A{X(f)}} der Spektralfunktion fallen allerdings nur dann in das gleiche Frequenzraster wie diejenigen von A{X(f)}, wenn die Frequenzperiode fP ein ganzzahliges Vielfaches N des Frequenzabtastabstandes fA ist.
  • Deshalb muss bei Anwendung der finiten Signaldarstellung stets gelten:
  • Für die natürliche Zahl N wird in der Praxis meist eine Zweierpotenz verwendet. Der obigen Grafik liegt der Wert N = 8 zugrunde.
Mit der Bedingung N · fA · TA = 1 ist die Reihenfolge von Abtastung und Periodifizierung vertauschbar. Somit gilt:
Die Zeitfunktion P{A{x(t)}} besitzt die Periode TP = N · TA, während die Periode im Frequenzbereich fP = N · fA beträgt. Zur Beschreibung des diskretisierten Zeit– und Frequenzverlaufs reichen somit jeweils N komplexe Zahlenwerte in Form von Impulsgewichten aus.
Beispiel: Es liegt ein impulsförmiges Signal x(t) in abgetasteter Form vor, wobei der Abstand zweier Abtastwerte TA = 1 μs beträgt. Wird das Spektrum X(f) durch eine diskrete Fouriertransformation mit N = 512 ermittelt, so liegt X(f) in Form von Abtastwerten im Abstand fA = (N · TA)-1 = 1.953 kHz vor. Vergrößert man N auf 2048, so ergibt sich ein feineres Frequenzraster mit fA = 488 Hz.
 
 
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