Diskretisierung im Zeitbereich – Periodifizierung im Frequenzbereich
Alle folgenden Grafiken zeigen links die Zeitbereichs– und rechts die Frequenzbereichsdarstellung. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sind x(t) und X(f) jeweils als reell und gaußförmig angenommen.
Wie bereits im Abschnitt 5.1 dargelegt, kann die Abtastung des Zeitsignals x(t) durch die Multiplikation mit einem Diracpuls beschrieben werden. Es ergibt sich das im Abstand TA abgetastete Zeitsignal
Wir transformieren nun das abgetastete Signal A{x(t)} in den Frequenzbereich. Der Multiplikation des Diracpulses mit x(t) entspricht im Frequenzbereich die Faltung mit X(f). Es ergibt sich somit das periodifizierte Spektrum P{X(f)}, wobei fP die Frequenzperiode der Funktion P{X(f)} angibt:
Dieser Zusammenhang wurde ebenfalls bereits in Abschnitt 5.1 hergeleitet, jedoch mit etwas anderer Nomenklatur. Diese Nomenklaturänderung, nämlich
A{x(t)} anstelle von xA(t),
fP = 1/TA anstelle von fA = 1/TA,
wird auf den nachfolgenden Seiten begründet.
Die Grafik veranschaulicht den hier beschriebenen Funktionalzusammenhang. Hierzu ist anzumerken:
Die FrequenzperiodefP ist hier aus Darstellungsgründen bewusst klein gewählt, so dass die Überlappung der zu summierenden Spektren deutlich zu erkennen ist.
In der Praxis sollte fP aufgrund des Abtasttheorems mindestens doppelt so groß sein wie die größte im Signal x(t) enthaltene Frequenz.
Ist dies nicht erfüllt, so muss mit Aliasing gerechnet werden. Hierauf wird im
