In den nachfolgenden Kapiteln dieses Buches werden komplexe Größen stets eine wichtige Rolle spielen. Obwohl das Rechnen mit komplexen Zahlen bereits in der Schulmathematik behandelt und geübt wird, haben unsere Erfahrungen gezeigt, dass auch Studierende von naturwissenschaftlichen und technischen Fachgebieten damit durchaus Probleme haben. Deshalb werden am Ende dieses Grundlagenkapitels die Rechenregeln für komplexe Zahlen kurz zusammengefasst.
Vielleicht hängen diese Schwierigkeiten auch damit zusammen, dass „komplex” im Alltag oft als Synonym für „kompliziert” verwendet wird, während „reell” laut Duden für „zuverlässig, ehrlich und redlich” steht.
Zunächst folgen einige Anmerkungen über reelle Zahlenmengen, für die im strengen mathematischen Sinne die Bezeichnung „Zahlenkörper” richtiger wäre. Hierzu gehören:
Natürliche Zahlenℕ = {1, 2, 3, ...}. Mit diesen Zahlen sind die Rechenoperationen Addition, Multiplikation und „xy” möglich. Das jeweilige Ergebnis ist wieder eine natürliche Zahl.
Ganze Zahlenℤ = {... , –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ...}. Diese Zahlenmenge ist eine Erweiterung der natürlichen Zahlen ℕ. Die Einführung der Menge ℤ war notwendig, um die Ergebnismenge einer Substraktion zu erfassen, zum Beispiel 5 – 7 = –2.
Rationale Zahlenℚ = {z/n} mit z∈ℤ, n∈ℕ. Mit dieser auch als Bruchzahlen bekannten Zahlenmenge liegt auch für jede Division ein definiertes Ergebnis vor. Schreibt man eine rationale Zahl in Dezimalschreibweise, so treten ab einer gewissen Dezimalstelle nur Nullen auf (zum Beispiel –2/5 = –0.400...) oder es sind Periodizitäten zu erkennen (z.B. 2/7 = 0.285714285...). Da n = 1 erlaubt ist, sind die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen: ℤ ⊂ ℚ.
Irrationale Zahlen \ℚ ≠ {z/n} mit z∈ℤ, n∈ℕ.
Obwohl es unendlich viele rationale Zahlen gibt, verbleiben ebenfalls unendlich viele Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. Beispiele hierfür sind die Zahl π = 3.141592654.... (wobei es auch bei mehr Dezimalstellen keine Perioden gibt) oder das Ergebnis der folgenden Gleichung:
Auch diese Zahl ist irrational, was bereits
Euklidin der Antike bewiesen hat.
Reelle Zahlenℝ = ℚ ∪ \ℚ. Die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen ergibt die Menge der reellen Zahlen. Diese können entsprechend ihren Zahlenwerten geordnet und auf dem so genannten Zahlenstrahl eingezeichnet werden.
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