Wir betrachten einen Vierpol mit dem Widerstand R = 100 Ω im Längszweig, während im Querzweig eine Induktivität L und eine Kapazität C in Serie geschaltet sind. Darunter gezeichnet ist das Pol–Nullstellen–Diagramm.
Beachten Sie die Normierung der komplexen Frequenz p = j2πf auf den Wert 1/T mit T = 1 μs. Dies hat zur Folge, dass zum Beispiel der Pol bei –1 in der Realität bei –106 · 1/s liegt.
Zur Berechnung von Zeitfunktionen kann man den Residuensatz anwenden. Bei N einfachen Polen setzt sich das Ausgangssignal y(t) aus N Eigenschwingungen (den sog. Residuen) zusammen. Bei einem einfachen Pol bei pxi gilt für das das Residuum:
Dieser Ansatz funktioniert aber nur dann, wenn die Anzahl Z der Nullstellen kleiner ist als N, in dieser Aufgabe beispielsweise dann, wenn die Sprungantwort y(t) berechnet wird. In diesem Fall ist Z = 2 und N = 3, da zusätzlich die Sprungantwort am Eingang durch XL(p) = 1/p berücksichtigt werden muss.
Für die Berechnung der Impulsantwort h(t) funktioniert diese Vorgehensweise wegen Z = N = 2 nicht. Hier kann aber die Tatsache berücksichtigt werden, dass das Integral über die Impulsantwort h(t) die Sprungantwort y(t) ergibt.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themenkomplex von
Kapitel 3.3.
