Es wird weiter vorausgesetzt, dass die Ãœbertragungsfunktion YL(p) in Pol–Nullstellen–Form durch
den konstanten Faktor K,
die Z Nullstellen poi (i = 1, ... , Z) und
die N Polstellen pxi (i = 1, ... , N)
dargestellt werden kann. Für diese und die nächste Seite setzen wir zudem Z < N voraus.
Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit I. Zur Bestimung von I werden mehrfache Pole nur einfach gezählt. Beispielsweise gilt für die Grafik auf der letzten Seite N = 5 und I = 4.
Residuensatz: Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die Laplace–Transformierte von YL(p) für Zeiten t ≥ 0 als die Summe von I Eigenschwingungen der Pole, die man als die Residien bezeichnet:
Da YL(p) nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets y(t < 0) = 0.
Für einen Pol der Vielfachheit l gilt allgemein:
Als Sonderfall ergibt sich daraus mit l = 1 für einen einfachen Pol:
Auf der nächsten Seite wird der Residuensatz an Beispielen verdeutlicht.
