Im Gegensatz zu den Fourierintegralen, die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei Laplace die Berechnung von y(t) aus YL(p) – also die Rücktransformation –
sehr viel schwieriger als die Berechnung von YL(p) aus y(t),
auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.
Definition: Allgemein gilt für die Laplace–Rücktransformation:
Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse (gepunktete Linie in der Grafik). Der Realteil α muss dabei so gewählt werden, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.
Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunktet eingezeichneten Vertikalen Re{p} = α. Lösbar ist dieses Integral mit dem Jordanschen Lemma der Funktionstheorie, siehe[Mar94].In diesem Tutorial folgt nur eine sehr einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:
Das Linienintegral kann entsprechend der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.
Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion y(t) für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität muss y(t < 0) identisch 0 sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur zutrifft, wenn es in der rechten p–Halbebene keine Pole gibt.
Das Integral über den linken Halbkreis liefert dagegen die Zeitfunktion für t ≥ 0. Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf der nächsten Seite gezeigt wird.
