Dieses Kapitel behandelt die folgende Problemstellung: Bekannt ist die p–Spektralfunktion YL(p) in der Pol–Nullstellen–Form. Gesucht ist die Laplace–Rücktransformierte, die die dazugehörige Zeitfunktion y(t) angibt und die in diesem Tutorial wie folgt bezeichnet wird:
In der Grafik sind die Voraussetzungen für diese Aufgabenstellung zusammengestellt:
HL(p) beschreibt das kausale Ãœbertragungssystem, während YL(p) die Laplace–Transformierte des gesuchten Ausgangssignals y(t) unter Berücksichtigung des Eingangssignals x(t) bezeichnet. YL(p) ist gekennzeichnet durch N Pole, Z ≤ N Nullstellen sowie die Konstante K.
Die Pole und Nullstellen zeigen die in
Kapitel 3.2genannten Eigenschaften. Pole dürfen nur in der linken p–Halbebene oder auf der imaginären Achse liegen, Nullstellen sind auch in der rechten p–Halbebene erlaubt.
Alle Singularitäten – dies ist der Oberbegriff für Pole und Nullstellen – sind entweder reell oder es treten Paare von konjugiert–komplexen Singularitäten auf. Mehrfache Pole und Nullstellen sind ebenfalls erlaubt.
Verwendet man ein diracförmiges Eingangssignal x(t) = δ(t) ⇒ XL(p) = 1 ⇒ YL(p) = HL(p), so beschreibt das Ausgangssignal y(t) die
Impulsantworth(t) des kausalen Übertragungssystems. Zur Berechnung dürfen nur die grün eingezeichneten Singularitäten herangezogen werden.
Eine Sprungfunktion x(t) = γ(t) ⇒ XL = 1/p am Eingang bewirkt, dass das Ausgangssignal y(t) gleich der
Sprungantwortσ(t) von HL(p) ist. Zur Berechnung ist neben den Singularitäten von HL(p) nun auch die (in der Grafik rot eingezeichnete) Polstelle bei p = 0 zu berücksichtigen.
Als Eingang x(t) sind nur Signale möglich, für die XL(p) in Pol–Nullstellen–Form darstellbar ist (siehe
Tabelleim Kapitel 3.2), zum Beispiel ein zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltetes Cosinus– oder Sinussignal. Deren Laplace–Transformierte sind in der obigen Grafik ebenfalls angegeben.
Dagegen ist bei der hier beschriebenen Vorgehensweise ein Rechteck x(t) ⇒ XL(p) = (1 – epT)/p nicht möglich. Die Rechteckantwort kann aber als Differenz zweier Sprungantworten indirekt ebenfalls berechnet werden.
