Bei mehrstufiger Phasenmodulation, wobei die Stufenzahl M in der Praxis meist eine Zweierpotenz ist, liegen alle Signalraumpunkte auf einem Kreis mit Radius E1/2 gleichmäßig verteilt. Damit gilt für die mittlere Symbolenergie ES = E und für die mittlere Energie pro Bit:
Für die Inphase– und die Quadraturkomponente der Signalraumpunkte si gilt allgemein (i = 0, …, M–1):
Der Phasenoffset ϕoff ist in obiger Grafik jeweils zu 0 gesetzt. Die 4–PSK mit ϕoff = π/4 (45°) ist identisch mit der4–QAM.Der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten ist in allen Fällen gleich:
Beispielsweise gilt für einige Sonderfälle:
Damit ist die obere Schranke für die AWGN–Symbolfehlerwahrscheinlichkeit nach derUnion Bound:
Für M = 2 (BPSK) erhält man daraus die Abschätzung pS ≤ 2 · Q[(2ES/N0)1/2]. Ein Vergleich mit der auf derBPSK–Seiteangegebenen Gleichung pS = Q [(2ES/N0)1/2] zeigt, dass in diesem Sonderfall die „Union Bound” als obere Schranke den doppelten Wert liefert. Je größer M ist, umso genauer nähert pUB die exakte Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS an.
Bei Verwendung eines Graycodes entsprechend den roten Beschriftungen in der Grafik erhält man die obere Schranke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
Diese Schranke ist allerdings nur für M > 4 anzuwenden. Für M = 2 (BPSK) und M = 4 (wegen der Identität zwischen 4–PSK und 4–QAM) kann man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit direkt angeben:
Das nachfolgende Interaktionsmodul gibt für die mehrstufige PSK die „Union Bound” an und zum Vergleich auch die tatsächliche, durch Simulation gewonnene Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
