Union Bound - Obere Schranke der Fehlerwahrscheinlichkeit (1)
Bei beliebigen Werten von M gilt für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht mi (bzw. das Signal si) gesendet wurde:
Für diesen Ausdruck lässt sich mit einer Booleschen Ungleichung, der so genannten Union Bound, eine obere Schranke angeben:
Hierzu ist anzumerken:
Es ist dik = ||si – sk|| der Abstand der Signalraumpunkte si und sk, und σn gibt den Effektivwert des AWGN–Rauschens an.
Die Union Bound ist nur bei gleichwahrscheinlichen Symbolen (Pr(mi) = 1/M) anwendbar. Auch dann muss zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit über alle mi gemittelt werden.
Auf der nächsten Seite wird die Union Bound weiter vereinfacht.
Beispiel: Die Grafik verdeutlicht die Union Bound am Beispiel M = 3 mit gleichwahrscheinlichen Symbolen: Pr(m0) = Pr(m1) = Pr(m2) = 1/3.
Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:
Für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit gilt:
Der erste Term im Klammerausdruck unter der Voraussetzung m = m0 ⇔ s = s0 ist in der linken Grafik visualisiert. Dieser Term Pr(r∈I0 | m0) beschreibt die rot ausgefüllte Region I0.
Die Komplementärregion „r ∉ I0 | m0” ist in der linken Grafik entweder blau oder grün oder blau–grün schraffiert markiert. Es gilt:
Das „≤”–Zeichen berücksichtigt hier, dass die blau–grün schraffierte Fläche sowohl zum Gebiet „r∈I1” als auch zum Gebiet „r∈I2” gehört, so dass die Summe einen zu großen Wert liefert. Das heißt: Die Union Bound liefert stets eine obere Schranke.
Die mittlere Grafik verdeutlicht die Berechnung der Union Bound unter der Voraussetzung, dass m1 ⇔ s1 gesendet wurde. Für das rechte Bild ist m = m2 ⇔ s = s2 zugrundegelegt.
