Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung für M > 2 (1)
Sobald die Entscheidungsregionen Ii festgelegt wurden, kann die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems berechnet werden. Im Weiteren benutzen wir die folgenden Bezeichnungen, wobei wir aufgrund der Einschränkungen durch den verwendeten HTML–Zeichensatz im Fließtext manchmal andere Namen als in Gleichungen verwenden müssen.
Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
Wahrscheinlichkeit für korrekte Entscheidung:
Bedingte Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung unter der Bedingung m = mi:
Allgemein gilt für die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung:
Für den AWGN–Kanal gilt dabei entsprechendKapitel 4.2:
Dieses Integral muss im allgemeinen Fall numerisch berechnet werden. Nur bei einigen wenigen, einfach beschreibbaren Entscheidungsregionen {Ii} ist eine analytische Lösung möglich.
Beispiel: Beim AWGN–Kanal liegt eine 2D–Gaußglocke um den Sendepunkt si, in der linken Grafik erkennbar an den konzentrischen Höhenlinien. Etwas willkürlich ist zudem die Entscheidungsgerade G eingezeichnet. Im rechten Bild dargestellt ist in einem anderen Koordinatensystem (verschoben und gedreht) allein die WDF der Rauschkomponente.
Aus dieser Darstellung lässt sich in einfacher Weise erklären:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangsvektor nicht in das Gebiet Ii fällt, sondern in das rot hinterlegte Gebiet Ik, ist Q(A/σn). A ist der Abstand zwischen si und G und σn der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN–Rauschens. Q(x) ist die Gaußsche Fehlerfunktion.
Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis r∈Ii gleich dem Komplementärwert
