Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Empfangswerte
Betrachten wir nochmals den optimalen Binärempfänger für die bipolare Basisbandübertragung über den AWGN–Kanal, wobei wir von der für Kapitel 4 gültigen Beschreibungsform ausgehen. Bei N = 1 und M = 2 ergibt sich für das Sendesignal die in der linken Grafik dargestellte Signalraumkonstellation
mit nur einer Basisfunktion φ1(t), wegen N = 1,
mit den beiden Signalraumpunkten si∈ {s0, s1}, wegen M = 2.
Für das Signal am Ausgang des AWGN–Kanals,
ergibt sich im rauschfreien Fall ⇒ r(t) = s(t) die genau gleiche Konstellation; die Signalraumpunkte liegen somit bei
Bei Berücksichtigung des (bandbegrenzten) AWGN–Rauschens n(t) überlagern sich den beiden Punkten r0 und r1 jeweils Gaußkurven mit der Varianz σn2 ⇒ Streuung σn (siehe rechte Grafik). Die WDF der Rauschkomponente n lautet dabei:
Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte, dass der Empfangswert ρ anliegt, wenn si gesendet wurde, ergibt sich dann folgender Ausdruck:
Zu den Einheiten der hier aufgeführten Größen ist zu bemerken:
r0 = s0, r1 = s1 sowie n sind jeweils Skalare mit der Einheit „Wurzel aus Energie”.
Damit ist offensichtlich, dass σn ebenfalls die Einheit „Wurzel aus Energie” besitzt und σn2 eine Energie darstellt.
Beim AWGN–Kanal ist die Rauschvarianz σn2 = N0/2. Diese ist also ebenfalls eine physikalische Größe mit der Einheit W/Hz = Ws.
Die hier angesprochene Thematik wird in derAufgabe A4.6an Beispielen verdeutlicht.
