Zu beachten ist, dass der auf der letzten Seite beschriebene Empfänger nur dann optimal ist, wenn auch der Detektor bestmöglich implementiert ist, das heißt, wenn durch den Übergang vom kontinuierlichen Signal r(t) zum Vektor r keine Information verloren geht.
Um die Frage zu klären, welche und wieviele Messungen am Empfangssignal r(t) durchzuführen sind, um Optimalität zu garantieren, ist das Theorem der Irrelevanz hilfreich.
Dazu betrachten wir den nachfolgend skizzierten Empfänger, dessen Detektor aus dem Empfangssignal r(t) die zwei Vektoren r1 und r2 ableitet und dem Entscheider zur Verfügung stellt. r1 und r2 stehen mit der Nachricht m∈ {mi} über die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte pr1, r2|m in Zusammenhang.
Die Entscheidungsregel des MAP–Empfängers lautet mit Anpassung an dieses Beispiel:
Hierzu ist anzumerken:
Die Vektoren r1 und r2 sind Zufallsgrößen. Ihre Realisierungen werden hier und im Folgenden mit ρ1 und ρ2 bezeichnet. Zur Hervorhebung sind alle Vektoren in der Grafik rot eingetragen.
Die Voraussetzungen für die Anwendung des „Theorems der Irrelevanz” sind die gleichen wie die an eine
Markovketteerster Ordnung. Die Zufallsvariablen x, y, z formen dann eine solche, falls die Verteilung von z bei gegebenem y unabhängig von x ist:
Der optimale Empfänger muss zur Entscheidungsfindung im allgemeinen Fall beide Vektoren r1 und r2 auswerten, da in obiger Entscheidungsregel die beiden Verbundwahrscheinlichkeitsdichten pr1|m und pr2| r1, m auftreten.
Dagegen kann der Empfänger ohne Informationseinbuße die zweite Messung vernachlässigen, falls r2 bei gegebenem r1 unabhängig von der Nachricht m ist:
In diesem Fall lässt sich die Entscheidungsregel weiter vereinfachen:
