Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells

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BEC–Kanalmodell

Wir betrachten das so genannte  BEC–Kanalmodell  (Binary Erasure Channel) mit

  • der Eingangsgröße  x∈{+1,−1},
  • der Ausgangsgröße  y∈{+1,−1,E}, und
  • der Auslöschungswahrscheinlichkeit  λ.


Hierbei bedeutet  y=E  (Erasure), dass der Ausgangswert  y  weder als  +1  noch als  −1  entschieden werden konnte.

Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten

Pr(x=+1)=3/4,Pr(x=−1)=1/4.

Das  Log–Likelihood–Verhältnis  (kurz:  L–Wert, englisch:  Log Likelihood Ratio, LLR) der binären Zufallsgröße  x  ist bei bipolarer Betrachtungsweise wie folgt gegeben:

L(x)=lnPr(x=+1)Pr(x=−1).

Entsprechend gilt für den bedingten  L–Wert in Vorwärtsrichtung für alle  y∈{+1,−1,E}:

L(y|x)=lnPr(y|x=+1)Pr(y|x=−1).





Hinweise:



Fragebogen

1

Wie lautet der  L–Wert der Eingangsgröße  x?

L(x) = 

2

Welcher Wahrscheinlichkeit  Pr(x=−1)  entspricht  L(x)=−2?

Pr(x=−1) = 

3

Berechnen Sie den bedingten  L–Wert  L(y=E|x)  in Vorwärtsrichtung.

L(y=E|x) = 

4

Welche Aussagen gelten für die beiden anderen bedingten  L–Wert?

L(y=+1|x)  ist positiv unendlich.
L(y=−1|x)  ist negativ und betragsmäßig unendlich groß.
Es gilt  L(y=+1|x)=L(y=−1|x)=0.

5

Unter welchen Voraussetzungen gelten die Ergebnisse aus (3) und (4)?

Für  0≤λ≤1.
Für  0<λ≤1.
Für  0≤λ<1.
Für  0<λ<1.


Musterlösung

Musterlösung

(1)  Mit den gegebenen Symbolwahrscheinlichkeiten Pr(x=+1)=3/4 und Pr(x=−1)=1/4 erhält man:

L(x)=lnPr(x=+1)Pr(x=−1)=ln3/41/4=1.099_.


(2)  Entsprechend der Definition

L(x)=lnPr(x=+1)Pr(x=−1)

ergibt sich für L(x)=−2 die folgende Bestimmungsgleichung:

Pr(x=+1)1−Pr(x=+1)!=e−2≈0.135⇒1.135⋅Pr(x=+1)!=0.135⇒Pr(x=+1)=0.119,Pr(x=−1)=0.881_.


(3)  Für den bedingten L–Wert L(y=E|x) in Vorwärtsrichtung gilt beim vorgegebenen BEC–Modell:

L(y=E|x)=lnPr(y=E|x=+1)Pr(y=E|x=−1)=lnλλ=0_.


(4)  Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (3) erhält man für y=±1:

L(y=+1|x) = lnPr(y=+1|x=+1)Pr(y=+1|x=−1)=ln1−λ0⇒+∞_,
L(y=−1|x) = lnPr(y=−1|x=+1)Pr(y=−1|x=−1)=ln01−λ⇒−∞_.

Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 2.


(5)  Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag:

  • Für λ=0 (idealer Kanal) ergibt sich L(y=E|x)=ln(0/0)   ⇒   unbestimmtes Ergebnis.
  • Für λ=1 (vollständige Auslöschung, y≡E) sind L(y=+1|x) und L(y=−1|x) unbestimmt.

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